Номер 32.3, страница 231 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Магнитное поле. 32. Электромагнитная индукция. Упражнения - номер 32.3, страница 231.

Условие.

32.3. Свинцовое кольцо радиусом $\text{r}$ расположено горизонтально между полюсами электромагнита, создающего вертикальное однородное магнитное поле с магнитной индукцией $\text{B}$. Охлаждая кольцо, его переводят в сверхпроводящее состояние. Какой магнитный поток $\Phi$ будет пронизывать плоскость кольца после выключения электромагнита?

☑ $\Phi = \pi r^2 B$.

Решение. Докажем, что магнитный поток, пронизывающий сверхпроводящий контур, не может измениться. Действительно, согласно закону Ома ЭДС индукции $\mathcal{E}_i = IR$, откуда при $R = 0$ получаем $\mathcal{E}_i = 0$. С другой стороны, $\mathcal{E}_i = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$, и из условия $\mathcal{E}_i = 0$ следует $\Delta \Phi = 0$, т. е. $\Phi = \text{const}$. До выключения внешнего магнитного поля плоскость кольца пронизывал магнитный поток $\Phi_0 = \pi r^2 B$. Следовательно, такой же поток будет пронизывать плоскость кольца и после выключения электромагнита. Однако теперь этот поток создается не внешним полем, а полем индуцированного в кольце незатухающего тока.

Решение.

Дано:

Свинцовое кольцо радиусом $r$.

Однородное вертикальное магнитное поле с индукцией $B$.

Кольцо находится в сверхпроводящем состоянии, его сопротивление $R = 0$.

Найти:

Магнитный поток $Φ$ через кольцо после выключения электромагнита.

Решение:

В момент, когда кольцо охлаждают и оно переходит в сверхпроводящее состояние, оно находится в магнитном поле электромагнита. Площадь, ограниченная кольцом, равна $S = πr²$. Поскольку магнитное поле перпендикулярно плоскости кольца, начальный магнитный поток, пронизывающий кольцо, равен:

$Φ₀ = B ⋅ S = Bπr²$

Ключевым свойством сверхпроводящего состояния является полное отсутствие электрического сопротивления ($R = 0$).

Рассмотрим, что происходит при попытке изменить магнитный поток через сверхпроводящий контур. Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, изменение магнитного потока $ΔΦ$ за время $Δt$ индуцирует в контуре ЭДС индукции $ε_i$:

$ε_i = - \frac{ΔΦ}{Δt}$

Согласно закону Ома для замкнутого контура, эта ЭДС создает индукционный ток $I$, сила которого связана с ЭДС и сопротивлением контура $R$:

$ε_i = IR$

Поскольку для сверхпроводника $R = 0$, то для любого конечного тока $I$ ЭДС индукции в контуре должна быть равна нулю: $ε_i = 0$.

Из этого следует, что и скорость изменения магнитного потока также равна нулю:

$\frac{ΔΦ}{Δt} = 0$

Это означает, что полный магнитный поток через сверхпроводящий контур не может изменяться и остается постоянным ($Φ = const$).

Таким образом, когда мы выключаем электромагнит, внешний магнитный поток уменьшается до нуля. Однако, чтобы сохранить общий поток постоянным, в кольце возникает незатухающий индукционный ток. Этот ток создает собственное магнитное поле, которое в точности компенсирует исчезновение внешнего поля, поддерживая первоначальное значение магнитного потока.

Следовательно, магнитный поток $Φ$, который будет пронизывать плоскость кольца после выключения электромагнита, останется равным потоку $Φ₀$, который был в момент перехода в сверхпроводящее состояние.

$Φ = Φ₀ = Bπr²$

Ответ: $Φ = πr²B$.