Номер 129, страница 228 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 31. Магнитное поле. Вектор магнитной индукции. Магнитное поле. Электродинамика - номер 129, страница 228.

Условие.

О29. Сплошной металлический цилиндр, радиус которого равен $R = 20$ см, вращается с постоянной угловой скоростью $\omega = 10^3$ рад/с. Чему равна напряженность $\text{E}$ электрического поля внутри цилиндра на расстоянии $\text{r}$ от оси? Какова разность потенциалов $\text{U}$ между поверхностью цилиндра и осью вращения? Какова должна быть индукция $\text{B}$ магнитного поля, направленного вдоль оси цилиндра, чтобы электрическое поле не возникло?

☑ $E = m\omega^2r/e$; $U = 0,11$ мкВ; $B = 5,7 \cdot 10^{-9}$ Тл.

Решение. При вращении цилиндра свободные электроны отбрасываются к его поверхности. За счет этого внутри цилиндра возникает объемный положительный заряд, создающий в металле электрическое поле. Со стороны этого поля на электроны действует сила, направленная к оси цилиндра. Разделение зарядов прекращается, когда эта сила сообщает свободным электронам ускорение $a = \omega^2r$, т. е. при $E = m\omega^2r/e$. Значение $\text{E}$ линейно возрастает от нуля до $E_{max}$, поэтому $U = E_{max} R/2 = m\omega^2R^2/(2e) = 1,1 \cdot 10^{-7}$ (В). Необходимое значение индукции магнитного поля можно найти из уравнения $eB\upsilon = m\upsilon^2/r$. Используя соотношение $\upsilon = \omega r$, получаем $B = m\omega/e = 5,7 \cdot 10^{-9}$ (Тл). Направление $\vec{B}$ должно быть согласовано с направлением вращения так, чтобы сила Лоренца, действующая на электроны, была направлена к оси вращения.

Решение.

Дано:

Радиус цилиндра, $R = 20 \text{ см}$

Угловая скорость, $\omega = 10^3 \text{ рад/с}$

Заряд электрона, $e \approx 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Масса электрона, $m_e \approx 9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$

Перевод в систему СИ:

$R = 0.2 \text{ м}$

Найти:

1. Напряженность электрического поля $E$ на расстоянии $r$ от оси.

2. Разность потенциалов $U$ между поверхностью и осью.

3. Индукцию магнитного поля $B$, при которой электрическое поле не возникает.

Решение:

1. Чему равна напряженность E электрического поля внутри цилиндра на расстоянии r от оси?

При вращении сплошного металлического цилиндра свободные электроны, находящиеся в нем, также движутся по окружностям. Для движения электрона по окружности радиусом $r$ с угловой скоростью $\omega$ необходима центростремительная сила. В отсутствие внешних полей эта сила создается за счет перераспределения зарядов.

Под действием инерции (в неинерциальной системе отсчета, связанной с цилиндром, — под действием центробежной силы) свободные электроны смещаются к поверхности цилиндра. В результате у поверхности накапливается избыточный отрицательный заряд, а вблизи оси — избыточный положительный заряд (ионы кристаллической решетки). Это разделение зарядов создает внутри цилиндра электрическое поле $\vec{E}$, направленное от оси к поверхности.

На электрон, находящийся на расстоянии $r$ от оси, со стороны этого поля действует электрическая сила $\vec{F}_e$, направленная к оси вращения. Равновесие наступает, когда эта электрическая сила в точности равна центростремительной силе $\vec{F}_ц$, необходимой для удержания электрона на круговой орбите:

$F_e = F_ц$

Величина электрической силы на электрон равна $F_e = eE$, а центростремительная сила равна $F_ц = m_e a_ц = m_e \omega^2 r$, где $m_e$ — масса электрона, а $a_ц$ — центростремительное ускорение.

Приравнивая силы, получаем:

$eE = m_e \omega^2 r$

Отсюда выражаем напряженность электрического поля $E$:

$E(r) = \frac{m_e \omega^2 r}{e}$

Напряженность поля линейно зависит от расстояния до оси вращения.

Ответ: Напряженность электрического поля на расстоянии $r$ от оси равна $E = \frac{m_e \omega^2 r}{e}$.

2. Какова разность потенциалов U между поверхностью цилиндра и осью вращения?

Разность потенциалов $U$ между двумя точками определяется как работа, совершаемая полем при перемещении единичного положительного заряда между этими точками. Математически это выражается через интеграл от напряженности поля:

$U = \varphi_{ось} - \varphi_{пов} = \int_R^0 \vec{E} \cdot d\vec{r}$

Поскольку поле направлено от оси ($r=0$) к поверхности ($r=R$), потенциал на оси выше, чем на поверхности. Найдем разность потенциалов $U = \varphi_{ось} - \varphi_{пов}$. Вектор $\vec{E}$ направлен вдоль радиуса от оси, как и вектор $d\vec{r}$.

$U = \int_0^R E(r) dr$

Подставим найденное ранее выражение для $E(r)$:

$U = \int_0^R \frac{m_e \omega^2 r}{e} dr = \frac{m_e \omega^2}{e} \int_0^R r dr$

Вычисляем интеграл:

$U = \frac{m_e \omega^2}{e} \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^R = \frac{m_e \omega^2}{e} \left( \frac{R^2}{2} - 0 \right) = \frac{m_e \omega^2 R^2}{2e}$

Теперь подставим числовые значения:

$U = \frac{(9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (10^3 \text{ рад/с})^2 \cdot (0.2 \text{ м})^2}{2 \cdot (1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл})} \approx \frac{9.11 \cdot 10^{-31} \cdot 10^6 \cdot 0.04}{3.204 \cdot 10^{-19}} \text{ В}$

$U \approx \frac{3.644 \cdot 10^{-26}}{3.204 \cdot 10^{-19}} \text{ В} \approx 1.137 \cdot 10^{-7} \text{ В} = 0.1137 \text{ мкВ}$

Ответ: Разность потенциалов $U \approx 0.11 \text{ мкВ}$.

3. Какова должна быть индукция B магнитного поля, направленного вдоль оси цилиндра, чтобы электрическое поле не возникло?

Чтобы электрическое поле не возникло, не должно происходить разделения зарядов. Это означает, что на свободные электроны должна действовать сила, которая будет играть роль центростремительной силы и удерживать их на круговых траекториях. Эту роль может выполнить сила Лоренца, возникающая при движении электронов в магнитном поле.

Пусть вдоль оси цилиндра создано однородное магнитное поле с индукцией $\vec{B}$. Электрон на расстоянии $r$ от оси движется с линейной скоростью $v = \omega r$, направленной по касательной к окружности. Вектор скорости $\vec{v}$ перпендикулярен вектору индукции $\vec{B}$.

Сила Лоренца, действующая на электрон (заряд $q=-e$), равна $\vec{F}_L = q(\vec{v} \times \vec{B}) = -e(\vec{v} \times \vec{B})$. Эта сила должна быть направлена к центру (вдоль радиуса к оси вращения) и по модулю равна необходимой центростремительной силе:

$F_L = F_ц$

Поскольку $\vec{v} \perp \vec{B}$, модуль силы Лоренца равен $F_L = e v B$. Модуль центростремительной силы $F_ц = m_e \omega^2 r$.

$e v B = m_e \omega^2 r$

Заменим линейную скорость $v$ через угловую: $v = \omega r$.

$e (\omega r) B = m_e \omega^2 r$

Сокращаем на $\omega r$ (для $r \neq 0$):

$e B = m_e \omega$

Отсюда находим необходимую индукцию магнитного поля:

$B = \frac{m_e \omega}{e}$

Обратим внимание, что величина $B$ не зависит от радиуса $r$, то есть поле должно быть однородным.

Подставим числовые значения:

$B = \frac{(9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (10^3 \text{ рад/с})}{1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} \approx \frac{9.11 \cdot 10^{-28}}{1.602 \cdot 10^{-19}} \text{ Тл} \approx 5.687 \cdot 10^{-9} \text{ Тл}$

Направление вектора $\vec{B}$ должно быть согласовано с направлением вращения так, чтобы сила Лоренца была направлена к оси вращения.

Ответ: Индукция магнитного поля $B \approx 5.7 \cdot 10^{-9} \text{ Тл}$.