Номер 127, страница 226 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 31. Магнитное поле. Вектор магнитной индукции. Магнитное поле. Электродинамика - номер 127, страница 226.

Условие.

O27. Проводники 1 и 2 лежат в плоскости, перпендикулярной однородному магнитному полю (см. рисунок). По проводникам текут одинаковые токи. Докажите, что на проводники действуют одинаковые (по модулю и направлению) силы Ампера.

Решение. Направим ось x вдоль прямолинейного проводника 1 (см. рис. а). Действующая на этот проводник сила Ампера $\vec{F_1}$ направлена вдоль оси y и равна по модулю $IB|A_1A_2|$, где $\text{B}$ — модуль индукции магнитного поля.

Для вычисления силы Ампера $\vec{F_2}$, действующей на второй проводник, мысленно разобьем его на малые участки и рассмотрим силу $\Delta\vec{F}$, действующую на один из этих участков длиной $\Delta l$ (на рис. б направление вектора $\Delta\vec{l}$ совпадает с направлением тока). Модуль этой силы $\Delta F = IB\Delta l$, а ее проекции на оси координат

$\Delta F_x = -\Delta F \Delta l_y / \Delta l = -IB\Delta l_y$

$\Delta F_y = \Delta F \Delta l_x / \Delta l = IB\Delta l_x$

Тогда $F_x = \sum \Delta F_x = -IB \sum \Delta l_y = -IB(y_{A2} - y_{A1}) = 0,$

$F_y = \sum \Delta F_y = IB \sum \Delta l_x = IB(x_{A2} - x_{A1}) = IB|A_1A_2|.$

Таким образом, $\vec{F_2} = \vec{F_1}$, что и требовалось доказать.

Отсюда, в частности, следует, что для замкнутого проводника $F = 0.$

Рис. а

Рис. б

Решение.

Решение

Сила Ампера, действующая на малый элемент проводника $d\vec{l}$ с током $I$ в магнитном поле с индукцией $\vec{B}$, определяется формулой: $d\vec{F} = I(d\vec{l} \times \vec{B})$

Чтобы найти полную силу, действующую на проводник, необходимо проинтегрировать это выражение по всей длине проводника от начальной точки $A_1$ до конечной точки $A_2$: $\vec{F} = \int_{A_1}^{A_2} I(d\vec{l} \times \vec{B})$

Согласно условию задачи, ток $I$ одинаков для обоих проводников, а магнитное поле $\vec{B}$ является однородным (постоянным по модулю и направлению). Следовательно, константы $I$ и $\vec{B}$ можно вынести за знак интеграла: $\vec{F} = I \left( \left( \int_{A_1}^{A_2} d\vec{l} \right) \times \vec{B} \right)$

Интеграл $\int_{A_1}^{A_2} d\vec{l}$ представляет собой векторную сумму всех бесконечно малых элементов длины $d\vec{l}$ вдоль проводника от точки $A_1$ до точки $A_2$. Эта сумма равна вектору $\vec{L}$, соединяющему начальную и конечную точки проводника: $\vec{L} = \int_{A_1}^{A_2} d\vec{l} = \vec{A_1A_2}$

Таким образом, сила Ампера, действующая на произвольный проводник в однородном магнитном поле, не зависит от формы проводника, а определяется только силой тока $I$, вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и вектором $\vec{L}$, соединяющим его концы: $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$

В данной задаче оба проводника (прямолинейный 1 и криволинейный 2) имеют общие начальную ($A_1$) и конечную ($A_2$) точки. Это означает, что для них вектор $\vec{L} = \vec{A_1A_2}$ один и тот же. Поскольку ток $I$ и магнитное поле $\vec{B}$ также одинаковы для обоих проводников, то и результирующие силы Ампера, действующие на них, будут равны. $\vec{F_1} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ $\vec{F_2} = I(\vec{L} \times \vec{B})$ Следовательно, $\vec{F_1} = \vec{F_2}$.

Это доказывает, что на проводники действуют одинаковые по модулю и направлению силы Ампера.

Для наглядности определим направление и модуль этой силы. Введем систему координат, как на рисунке: ось $Ox$ направим вдоль прямого проводника от $A_1$ к $A_2$, а ось $Oy$ — перпендикулярно ему вверх. Вектор магнитной индукции $\vec{B}$ направлен от нас (в плоскость рисунка), то есть вдоль отрицательного направления оси $Oz$. Тогда $\vec{L} = L\vec{i}$ и $\vec{B} = -B\vec{k}$, где $L$ - расстояние между точками $A_1$ и $A_2$. Сила Ампера равна: $\vec{F} = I(L\vec{i} \times (-B\vec{k})) = -IBL(\vec{i} \times \vec{k})$

Используя правило векторного произведения ($\vec{i} \times \vec{k} = -\vec{j}$), получаем: $\vec{F} = -IBL(-\vec{j}) = IBL\vec{j}$

Таким образом, сила для обоих проводников направлена вдоль оси $Oy$ (то есть перпендикулярно вектору $\vec{L} = \vec{A_1A_2}$) и имеет модуль $F = IBL$.

Ответ: Сила Ампера, действующая на проводник в однородном магнитном поле, определяется выражением $\vec{F} = I(\vec{L} \times \vec{B})$, где $\vec{L}$ — вектор, соединяющий начальную и конечную точки проводника. Поскольку для обоих проводников ток $I$, магнитное поле $\vec{B}$ и вектор $\vec{L}$ (так как у них общие начальная и конечная точки) одинаковы, то и силы Ампера, действующие на них, равны как по модулю, так и по направлению.