Номер 31.7, страница 222 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Магнитное поле. 31. Магнитное поле. Вектор магнитной индукции. Упражнения - номер 31.7, страница 222.

Условие.

31.7. Электрон влетает в однородное магнитное поле со скоростью $\vec{v}$ под углом $\alpha$ к направлению поля. Магнитная индукция поля $\vec{B}$. По какой траектории будет двигаться электрон?

☑ По винтовой линии радиусом $R = \frac{m v \sin \alpha}{e B}$ с шагом $h = \frac{2 \pi m v \cos \alpha}{e B}$.

Решение. Поскольку сила Лоренца перпендикулярна векторам $\vec{v}$ и $\vec{B}$, при движении заряженной частицы остаются неизменными модуль скорости и ее проекция на направление $\vec{B}$. Следовательно, угол $\alpha$ между $\vec{v}$ и $\vec{B}$ также остается неизменным.

Составляющая скорости $\vec{v}_{\perp}$ (см. рис. а) поворачивается в плоскости, перпендикулярной $\vec{B}$, не изменяясь по модулю ($v_{\perp} = v \sin \alpha$). Таким образом, электрон одновременно участвует в двух движениях: равномерном перемещении вдоль $\vec{B}$ со скоростью $\vec{v}_{\|}$, равной по модулю $v \cos \alpha$, и движении по окружности в перпендикулярной $\vec{B}$ плоскости со скоростью $v_{\perp}$. На рис. б показана траектория движения (винтовая линия). Из соотношения $F_{Л} = e v B \sin \alpha = m v_{\perp}^{2} / R$ находим радиус винтовой линии $R = \frac{m v \sin \alpha}{e B}$. Один виток электрон совершает за время $T = 2 \pi R / v_{\perp}$.

Следовательно, шаг винтовой линии (расстояние между соседними витками) $h = v_{\|} T = \frac{2 \pi m v \cos \alpha}{e B}$.

Рис. а

Рис. б

Решение.

Дано:

Скорость электрона: $v$

Угол между скоростью и направлением поля: $\alpha$

Магнитная индукция поля: $B$

Масса электрона: $m$

Модуль заряда электрона: $e$

Найти:

Траекторию движения электрона и ее параметры: радиус $R$ и шаг $h$.

Решение:

На электрон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца $\vec{F_Л} = q(\vec{v} \times \vec{B})$, где $q = -e$ для электрона. Эта сила всегда перпендикулярна как вектору скорости $\vec{v}$, так и вектору магнитной индукции $\vec{B}$. Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости, она не совершает работы, и, следовательно, кинетическая энергия и модуль скорости электрона остаются постоянными.

Для анализа движения представим вектор скорости $\vec{v}$ в виде суммы двух составляющих:

1. Параллельная вектору магнитной индукции $\vec{B}$: $\vec{v}_{\parallel}$. Ее модуль равен $v_{\parallel} = v \cos\alpha$.

2. Перпендикулярная вектору магнитной индукции $\vec{B}$: $\vec{v}_{\perp}$. Ее модуль равен $v_{\perp} = v \sin\alpha$.

Рассмотрим движение, обусловленное каждой из этих составляющих отдельно.

На составляющую скорости $\vec{v}_{\parallel}$, которая параллельна магнитному полю, сила Лоренца не действует. Это следует из определения векторного произведения: $\vec{v}_{\parallel} \times \vec{B} = 0$, так как векторы коллинеарны. Таким образом, в направлении, параллельном линиям магнитной индукции, электрон движется равномерно и прямолинейно со скоростью $v_{\parallel}$.

На составляющую скорости $\vec{v}_{\perp}$, которая перпендикулярна полю, действует сила Лоренца, модуль которой максимален: $F_Л = e v_{\perp} B \sin(90^\circ) = e v_{\perp} B$. Эта сила всегда перпендикулярна вектору $\vec{v}_{\perp}$ и действует как центростремительная сила. Под ее действием электрон движется по окружности в плоскости, перпендикулярной вектору $\vec{B}$.

Совмещение этих двух движений — равномерного прямолинейного вдоль поля и равномерного кругового в плоскости, перпендикулярной полю — дает в результате движение по винтовой линии (спирали).

Найдем параметры этой траектории.

Радиус винтовой линии $R$:

Сила Лоренца сообщает электрону центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v_{\perp}^2}{R}$. Согласно второму закону Ньютона:

$F_Л = m a_ц$

$e v_{\perp} B = \frac{m v_{\perp}^2}{R}$

Выразим отсюда радиус $R$ и подставим значение $v_{\perp}$:

$R = \frac{m v_{\perp}}{eB} = \frac{m v \sin\alpha}{eB}$

Шаг винтовой линии $h$:

Шаг винтовой линии — это расстояние, на которое электрон смещается вдоль поля за один полный оборот по окружности. Сначала найдем период обращения $T$ — время одного оборота:

$T = \frac{\text{длина окружности}}{\text{скорость}} = \frac{2\pi R}{v_{\perp}}$

Подставим найденное выражение для $R$:

$T = \frac{2\pi}{v_{\perp}} \left( \frac{m v_{\perp}}{eB} \right) = \frac{2\pi m}{eB}$

Теперь найдем шаг $h$ как расстояние, пройденное вдоль поля со скоростью $v_{\parallel}$ за время $T$:

$h = v_{\parallel} \cdot T = (v \cos\alpha) \cdot \frac{2\pi m}{eB} = \frac{2\pi m v \cos\alpha}{eB}$

По какой траектории будет двигаться электрон?

Электрон будет двигаться по винтовой линии (спирали), которая является результатом сложения равномерного прямолинейного движения вдоль магнитного поля и равномерного движения по окружности в плоскости, перпендикулярной полю.

Ответ: по винтовой линии радиусом $R = \frac{mv\sin\alpha}{eB}$ с шагом $h = \frac{2\pi mv\cos\alpha}{eB}$.