Номер 31.5, страница 221 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Магнитное поле. 31. Магнитное поле. Вектор магнитной индукции. Упражнения - номер 31.5, страница 221.

Условие.

31.5. К двум точкам проволочного кольца подведен ток (см. рисунок). Протекающие по кольцу токи создают магнитное поле. Куда направлен вектор магнитной индукции $ \vec{B} $ этого поля в центре кольца?

☑ В центре кольца $ B = 0 $.

Решение. Отношение токов, текущих от А к В по двум соединенным параллельно дугам кольца, обратно отношению сопротивлений дуг, а значит, и их длин: $ I_1/I_2 = l_2/l_1 $, откуда $ I_1l_1 = I_2l_2 $. Согласно правилу буравчика токи $ I_1 $ и $ I_2 $ создают в центре кольца противоположно направленные магнитные поля. Чтобы сравнить эти поля по модулю, мысленно разобьем каждую из дуг кольца на одинаковые малые участки. Вклад каждого участка в магнитное поле пропорционален силе тока в этом участке; количество же участков в дуге пропорционально ее длине. Следовательно, поле каждого из токов пропорционально произведению $ Il $, так что магнитные поля обоих токов равны по модулю и поэтому компенсируют друг друга.

Решение.

Решение

Входящий в точку А ток $I$ разделяется на два тока, $I_1$ и $I_2$, которые текут по двум дугам проволочного кольца к точке B. Эти две дуги можно рассматривать как два проводника, соединенных параллельно.

При параллельном соединении напряжение на обоих участках цепи одинаково: $U_1 = U_2$.

Согласно закону Ома, $U = I \cdot R$, следовательно, для наших дуг выполняется равенство $I_1 R_1 = I_2 R_2$, где $R_1$ и $R_2$ — сопротивления дуг.

Сопротивление проводника определяется формулой $R = \rho \frac{l}{S}$, где $\rho$ — удельное сопротивление материала, $l$ — длина, а $S$ — площадь поперечного сечения. Поскольку кольцо сделано из однородной проволоки, величины $\rho$ и $S$ для обеих дуг одинаковы. Следовательно, сопротивление каждой дуги прямо пропорционально ее длине: $R_1 \propto l_1$ и $R_2 \propto l_2$.

Таким образом, соотношение токов обратно пропорционально соотношению длин дуг:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{l_2}{l_1}$
Из этого соотношения следует важное равенство: $I_1 l_1 = I_2 l_2$.

Теперь рассмотрим магнитное поле, создаваемое каждой дугой в центре кольца. Магнитная индукция в центре, создаваемая дугой окружности радиусом $R$ с током $I$, которая стягивает центральный угол $\alpha$ (в радианах), равна:
$B = \frac{\mu_0 I \alpha}{4 \pi R}$

Длина дуги $l$ связана с углом $\alpha$ и радиусом $R$ соотношением $l = \alpha R$, откуда $\alpha = \frac{l}{R}$. Подставив это в формулу для магнитной индукции, получим:
$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi R} \cdot \frac{l}{R} = \frac{\mu_0 I l}{4 \pi R^2}$
Из этой формулы видно, что магнитная индукция, создаваемая дугой, пропорциональна произведению силы тока на ее длину: $B \propto Il$.

Магнитная индукция, создаваемая первой дугой (с током $I_1$ и длиной $l_1$), равна $B_1 = \frac{\mu_0 I_1 l_1}{4 \pi R^2}$.
Магнитная индукция, создаваемая второй дугой (с током $I_2$ и длиной $l_2$), равна $B_2 = \frac{\mu_0 I_2 l_2}{4 \pi R^2}$.

Поскольку мы ранее установили, что $I_1 l_1 = I_2 l_2$, то и модули векторов магнитной индукции от обеих дуг равны: $B_1 = B_2$.

Определим направление векторов $\vec{B_1}$ и $\vec{B_2}$ с помощью правила буравчика (или правила правой руки).
Ток $I_1$ течет по верхней (короткой) дуге от A к B по часовой стрелке. Согласно правилу буравчика, вектор $\vec{B_1}$ в центре кольца направлен перпендикулярно плоскости рисунка "внутрь" (от нас).
Ток $I_2$ течет по нижней (длинной) дуге от A к B против часовой стрелки. Согласно тому же правилу, вектор $\vec{B_2}$ в центре кольца направлен перпендикулярно плоскости рисунка "наружу" (на нас).

Таким образом, векторы $\vec{B_1}$ и $\vec{B_2}$ равны по модулю, но противоположны по направлению.

Результирующий вектор магнитной индукции в центре кольца является векторной суммой полей от двух дуг:
$\vec{B} = \vec{B_1} + \vec{B_2}$
Так как векторы-слагаемые равны по модулю и противоположны по направлению, их сумма равна нулю: $\vec{B} = 0$.

Следовательно, магнитная индукция в центре кольца равна нулю.

Ответ: Вектор магнитной индукции в центре кольца равен нулю, $\vec{B} = 0$.