Номер 31.8, страница 223 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 31. Магнитное поле. Вектор магнитной индукции. Магнитное поле. Электродинамика - номер 31.8, страница 223.

Условие.

31.8. Опишите движение электрона в однородных параллельных электрическом и магнитном полях. Начальная скорость электрона v направлена под углом α к векторам $\vec{E}$ и $\vec{B}$.

Решение. Разложим скорость электрона на составляющие $v_{\parallel}$ и $v_{\perp}$ (см. задачу 31.7). Электрическое поле изменяет только первую из них, а сила Лоренца зависит только от второй. Поэтому «поперечное» движение электрона не отличается от описанного в задаче 31.7. «Продольное» же движение будет происходить с постоянным ускорением

$a = eE/m$. Следовательно, расстояния между соседними витками «винтовой линии» не будут одинаковыми: они составят арифметическую прогрессию, разность которой $d = aT^2$, где $T = 2\pi m/(eB)$ (см. задачу 31.4). Если расстояния между соседними витками траектории при этом уменьшаются, $v_{\parallel}$ в некоторый момент обратится в нуль и затем изменит знак: электрон как бы отразится от некоторой плоскости, перпендикулярной $\vec{E}$ и $\vec{B}$.

Решение.

Для описания движения электрона в однородных параллельных электрическом $(\vec{E})$ и магнитном $(\vec{B})$ полях разложим его начальную скорость $\vec{v}$ на две взаимно перпендикулярные составляющие:

1. Составляющая $\vec{v}_∥$, параллельная векторам полей. Ее модуль равен $v_∥ = v \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между вектором начальной скорости и направлением полей.

2. Составляющая $\vec{v}_⊥$, перпендикулярная векторам полей. Ее модуль равен $v_⊥ = v \sin(\alpha)$.

Движение электрона является суперпозицией (наложением) двух независимых движений: движения вдоль полей и движения в плоскости, перпендикулярной им.

Поперечное движение (в плоскости, перпендикулярной $\vec{E}$ и $\vec{B}$)

Это движение определяется только взаимодействием с магнитным полем. На электрон действует сила Лоренца $\vec{F}_Л = -e(\vec{v}_⊥ \times \vec{B})$. Эта сила всегда перпендикулярна вектору скорости $\vec{v}_⊥$ и направлена к центру некоторой окружности. Она является центростремительной силой и заставляет электрон равномерно двигаться по окружности. Электрическое поле не влияет на это движение, так как оно параллельно оси вращения.

Радиус окружности $R$ и период обращения $T$ по этой окружности определяются как:

$R = \frac{m v_⊥}{eB} = \frac{m v \sin(\alpha)}{eB}$

$T = \frac{2\pi m}{eB}$

где $m$ — масса электрона, $e$ — элементарный заряд.

Продольное движение (вдоль направления $\vec{E}$ и $\vec{B}$)

В этом направлении на электрон действует только постоянная сила со стороны электрического поля $\vec{F}_Э = -e\vec{E}$. Магнитное поле не влияет на это движение, так как $\vec{v}_∥$ параллельна $\vec{B}$ и их векторное произведение равно нулю. Под действием постоянной силы электрон движется равноускоренно с ускорением:

$\vec{a}_∥ = \frac{\vec{F}_Э}{m} = -\frac{e\vec{E}}{m}$

Ускорение направлено против вектора напряженности электрического поля $\vec{E}$.

Результирующая траектория

Совмещение равномерного движения по окружности в поперечной плоскости и равноускоренного движения вдоль оси приводит к тому, что электрон движется по винтовой линии с переменным шагом.

Шаг винтовой линии (расстояние, которое электрон проходит вдоль оси за один оборот) не является постоянным из-за наличия ускорения $a_∥$. Расстояния между соседними витками траектории образуют арифметическую прогрессию. Разность этой прогрессии (изменение шага за один период $T$) постоянна и равна $d = a_∥ T^2$, где $a_∥ = \frac{eE}{m}$ — модуль продольного ускорения.

Важный частный случай возникает, когда начальная продольная скорость $\vec{v}_∥$ направлена в ту же сторону, что и вектор $\vec{E}$. В этом случае электрическая сила $\vec{F}_Э = -e\vec{E}$ направлена против начальной продольной скорости, и движение вдоль оси будет равнозамедленным. Шаг винтовой линии будет уменьшаться. В некоторый момент времени продольная скорость станет равной нулю, после чего электрон начнет двигаться в обратном направлении с ускорением. Визуально это выглядит как "отражение" электрона от некоторой плоскости, перпендикулярной векторам полей.

Ответ: Траектория движения электрона представляет собой винтовую линию с переменным шагом. Это движение является результатом сложения двух независимых движений: равномерного вращения по окружности в плоскости, перпендикулярной полям (под действием силы Лоренца), и равноускоренного движения вдоль направления полей (под действием электрической силы). Расстояния между соседними витками траектории образуют арифметическую прогрессию. Если начальная скорость вдоль полей направлена против электрической силы, действующей на электрон, то он замедляется, на мгновение останавливается в продольном движении и начинает двигаться в обратную сторону, как бы отражаясь.