Номер 128, страница 227 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 31. Магнитное поле. Вектор магнитной индукции. Магнитное поле. Электродинамика - номер 128, страница 227.

Условие.

O28. Металлическую полоску, по которой течет ток $\text{I}$, помещают в однородное магнитное поле с индукцией $\vec{B}$ (см. рисунок). При этом между точками A и C возникает разность потенциалов (эффект Холла). Объясните это явление. Найдите разность потенциалов $U_{AC}$, если $AC = a$, $AD = b$. Концентрация свободных электронов равна n.

☑ $U_{AC} = IB/(enb).$

Решение. При упорядоченном движении электронов на них действует сила Лоренца, отклоняющая электроны в сторону поверхности $CC_1E_1E$ (см. рисунок). В результате на этой поверхности накапливается отрицательный заряд, а на противоположной — положительный. Это приводит к появлению электрического поля, направленного от A к C. Процесс разделения зарядов продолжается до тех пор, пока сила, действующая на электрон со стороны возникшего электрического поля, не скомпенсирует действие силы Лоренца: $eE = evB$ (здесь $\text{v}$ — скорость упорядоченного движения электронов). Поскольку $U_{AC} = \varphi_A - \varphi_C = Ea$ и $I = envS = envab$, получаем $U_{AC} = IB/(enb).$

Решение.

Объяснение явления (эффект Холла)

Когда металлическая полоска с током $I$ помещается в магнитное поле $\vec{B}$, перпендикулярное направлению тока, на носители заряда (в металлах это свободные электроны) начинает действовать сила Лоренца. Направление тока $I$ по определению противоположно направлению упорядоченного движения электронов. Скорость электронов $\vec{v}$ направлена против тока. Сила Лоренца, действующая на каждый электрон, определяется выражением $\vec{F_L} = q(\vec{v} \times \vec{B})$, где заряд электрона $q = -e$.

Согласно правилу левой руки (для отрицательных зарядов) или правилу векторного произведения, сила Лоренца будет отклонять электроны в сторону грани, содержащей точку C. В результате на этой грани накапливается избыточный отрицательный заряд, а на противоположной грани (содержащей точку A) возникает недостаток электронов, что эквивалентно появлению положительного заряда.

Это разделение зарядов создает поперечное электрическое поле $\vec{E_H}$, направленное от грани A к грани C. Это поле, в свою очередь, создает электрическую силу $\vec{F_E} = q\vec{E_H} = -e\vec{E_H}$, действующую на электроны в направлении, противоположном силе Лоренца (от C к A). Процесс накопления заряда на гранях продолжается до тех пор, пока электрическая сила не уравновесит силу Лоренца: $F_E = F_L$. В этот момент устанавливается стационарное состояние, и между гранями A и C возникает постоянная разность потенциалов $U_{AC}$, называемая напряжением Холла.

Ответ: Явление возникновения поперечной разности потенциалов в проводнике с током, помещенном в магнитное поле, называется эффектом Холла. Оно обусловлено действием силы Лоренца на носители заряда, что приводит к их перераспределению и созданию поперечного электрического поля.

Нахождение разности потенциалов U_AC

Дано:
Сила тока: $I$
Индукция магнитного поля: $B$
Расстояние $AC = a$
Расстояние $AD = b$
Концентрация свободных электронов: $n$
Заряд электрона: $e$ (по модулю)

Все величины заданы в общем виде, предполагается, что они находятся в системе СИ.

Найти:
Разность потенциалов $U_{AC}$

Решение:
В установившемся режиме, когда накопление зарядов на гранях прекращается, сила Лоренца $F_L$, действующая на электроны, уравновешивается силой $F_E$ со стороны возникшего поперечного электрического поля Холла $E_H$.
$F_L = F_E$
$evB = eE_H$
где $v$ - средняя скорость упорядоченного движения (дрейфовая скорость) электронов.
Отсюда напряженность холловского поля: $E_H = vB$.
Разность потенциалов $U_{AC}$ связана с напряженностью однородного электрического поля $E_H$ и расстоянием $a$ между гранями соотношением:
$U_{AC} = E_H \cdot a = vBa$
Сила тока $I$ связана с дрейфовой скоростью электронов $v$ формулой:
$I = jS = (nev)S$
где $S$ - площадь поперечного сечения проводника, перпендикулярного току. В данном случае $S = a \cdot b$.
$I = nev(ab)$
Выразим дрейфовую скорость $v$ из этой формулы:
$v = \frac{I}{neab}$
Теперь подставим выражение для скорости $v$ в формулу для разности потенциалов $U_{AC}$:
$U_{AC} = \left(\frac{I}{neab}\right)Ba$
Сократив $a$, получаем окончательное выражение:
$U_{AC} = \frac{IB}{neb}$

Ответ: $U_{AC} = \frac{IB}{neb}$