Номер 32.5, страница 232 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Магнитное поле. 32. Электромагнитная индукция. Упражнения - номер 32.5, страница 232.

Условие.

32.5. На замкнутый ферромагнитный сердечник намотана катушка. Как зависит ее индуктивность $\text{L}$ от числа витков $\text{N}$? Магнитную проницаемость сердечника можно считать неизменной.

☑ $\text{L}$ пропорциональна $N^2$.

Решение. Согласно определению индуктивности, $L = \frac{\Phi}{I} = \frac{BS}{I}$. Здесь $\text{S}$ — суммарная площадь всех витков, пропорциональная их числу $\text{N}$. Из принципа суперпозиции следует, что модуль магнитной индукции $\text{B}$ тоже прямо пропорционален $\text{N}$ (в замкнутом сердечнике магнитный поток практически не рассеивается). Следовательно, индуктивность $\text{L}$ пропорциональна квадрату числа витков.

Решение.

Решение

Индуктивность катушки L по определению представляет собой коэффициент пропорциональности между полным магнитным потоком (потокосцеплением) $\Phi_{total}$, пронизывающим все витки катушки, и силой тока I, создающего этот поток:

$L = \frac{\Phi_{total}}{I}$

Полный магнитный поток $\Phi_{total}$ для катушки, содержащей N витков, равен произведению числа витков на магнитный поток $\Phi_1$, проходящий через один виток:

$\Phi_{total} = N \cdot \Phi_1$

Магнитный поток через один виток, в свою очередь, равен произведению модуля магнитной индукции B на площадь поперечного сечения сердечника S:

$\Phi_1 = B \cdot S$

Подставив это в выражение для потокосцепления, получаем:

$\Phi_{total} = N \cdot B \cdot S$

Теперь выразим индуктивность через эти величины:

$L = \frac{N \cdot B \cdot S}{I}$

Для катушки, намотанной на замкнутый (тороидальный) ферромагнитный сердечник, магнитная индукция B внутри сердечника определяется формулой:

$B = \frac{\mu \mu_0 N I}{l}$

где $\mu$ – магнитная проницаемость сердечника (по условию она неизменна), $\mu_0$ – магнитная постоянная, I – сила тока в катушке, N – число витков, а l – длина средней линии сердечника.

Подставим это выражение для B в формулу для индуктивности L:

$L = \frac{N S}{I} \left(\frac{\mu \mu_0 N I}{l}\right)$

После сокращения силы тока I и группировки слагаемых получаем:

$L = \frac{\mu \mu_0 S}{l} N^2$

В этом выражении все величины, кроме числа витков N, являются постоянными для данной катушки: магнитная проницаемость сердечника $\mu$, магнитная постоянная $\mu_0$, площадь поперечного сечения сердечника S и его длина l. Таким образом, множитель перед $N^2$ является константой.

Следовательно, индуктивность катушки L прямо пропорциональна квадрату числа ее витков N.

$L \propto N^2$

Ответ: Индуктивность L пропорциональна $N^2$.