Номер 32.2, страница 230 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 32. Электромагнитная индукция. Магнитное поле. Электродинамика - номер 32.2, страница 230.

Условие.

32.2. Прямоугольная проволочная рамка равномерно вращается вокруг неподвижной оси. Параллельно этой оси расположен провод, по которому течет ток $\text{I}$ (см. рисунок). При каких положениях рамки в ней возникает наименьшая ЭДС индукции? Наибольшая?

☑ Наименьшая (равная нулю) — когда рамка находится в плоскости, проходящей через ось вращения и провод; наибольшая — когда плоскость рамки перпендикулярна указанной плоскости.

Решение. ЭДС индукции пропорциональна скорости изменения магнитного потока через рамку. Эта скорость равна нулю, когда рамка и провод лежат в одной плоскости: при этом боковые стороны рамки не пересекают линий магнитной индукции, а «скользят» вдоль них.

Решение.

Дано:

Прямоугольная проволочная рамка, равномерно вращающаяся вокруг неподвижной оси.

Длинный прямой провод с постоянным током $I$, расположенный параллельно оси вращения рамки.

Найти:

Положения рамки, при которых индуцируемая в ней ЭДС является наименьшей и наибольшей.

Решение:

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, электродвижущая сила (ЭДС), индуцируемая в замкнутом контуре, равна скорости изменения магнитного потока через этот контур, взятой с обратным знаком:

$ \mathcal{E} = - \frac{d\Phi_B}{dt} $

Магнитный поток $ \Phi_B $ через рамку зависит от величины и направления магнитного поля, создаваемого проводом с током, а также от ориентации рамки относительно этого поля. Прямой провод с током $I$ создает вокруг себя магнитное поле, линии индукции которого представляют собой концентрические окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных проводу.

Наименьшая ЭДС индукции

Рассмотрим положение, когда плоскость рамки находится в одной плоскости с проводом и осью вращения. В этом случае нормаль к плоскости рамки перпендикулярна этой общей плоскости. Линии магнитной индукции $ \vec{B} $ в точках, где находятся стороны рамки, также перпендикулярны этой плоскости. Таким образом, вектор магнитной индукции $ \vec{B} $ параллелен нормали к рамке $ \vec{n} $ по всей ее площади. В этом положении магнитный поток $ \Phi_B = \int \vec{B} \cdot d\vec{A} $ через рамку достигает своего максимального (или минимального, в зависимости от направления нормали) значения. В точках экстремума функции ее производная по времени равна нулю. Следовательно, скорость изменения магнитного потока $ \frac{d\Phi_B}{dt} = 0 $, и, соответственно, ЭДС индукции $ \mathcal{E} = 0 $. Это наименьшее возможное значение ЭДС.

Этот же вывод можно получить, рассмотрев движение боковых сторон рамки. В указанном положении их скорости $ \vec{v} $ направлены параллельно линиям магнитной индукции $ \vec{B} $. Стороны рамки «скользят» вдоль линий поля, не пересекая их. Так как индуцируемая ЭДС пропорциональна векторному произведению $ \vec{v} \times \vec{B} $, а оно равно нулю для параллельных векторов, то ЭДС индукции в этом положении равна нулю.

Наибольшая ЭДС индукции

Рассмотрим положение, когда плоскость рамки перпендикулярна плоскости, проходящей через провод и ось вращения. В этом случае нормаль к рамке $ \vec{n} $ лежит в этой общей плоскости, в то время как линии магнитной индукции $ \vec{B} $ перпендикулярны ей. Следовательно, вектор $ \vec{B} $ перпендикулярен вектору нормали $ \vec{n} $ во всех точках рамки. Это означает, что магнитный поток $ \Phi_B = \int \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0 $. Когда какая-либо гармонически изменяющаяся величина (в данном случае магнитный поток) проходит через нулевое значение, скорость ее изменения максимальна по модулю. Таким образом, в этом положении $ |\frac{d\Phi_B}{dt}| $ достигает своего максимального значения, а значит и модуль ЭДС индукции $ |\mathcal{E}| $ будет наибольшим.

С точки зрения движения проводников, в этом положении их скорости $ \vec{v} $ направлены так, что они пересекают линии магнитной индукции $ \vec{B} $ под наибольшим возможным углом, что приводит к максимальной скорости изменения потока и, следовательно, к максимальной ЭДС индукции.

Ответ:

Наименьшая ЭДС индукции (равная нулю) возникает в положении, когда плоскость рамки проходит через ось вращения и провод. Наибольшая ЭДС индукции возникает, когда плоскость рамки перпендикулярна плоскости, проходящей через ось вращения и провод.