Номер 32.4, страница 231 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Магнитное поле. 32. Электромагнитная индукция. Упражнения - номер 32.4, страница 231.

Условие.

32.4. В замкнутую накоротко катушку вводят магнит: один раз быстро, а другой — медленно. Одинаковый ли заряд проходит по цепи в обоих случаях? Одинаковое ли количество теплоты выделяется?

☑ Заряд одинаковый; количество теплоты больше при быстром вдвигании магнита.

Решение. Обозначим сопротивление катушки $\text{R}$. Тогда индукционный ток $I = - \frac{1}{R} \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$. За время $\Delta t$ по цепи проходит заряд $\Delta q = I\Delta t = -\Delta\Phi/R$. Весь прошедший по цепи заряд $q = -\Phi/R$, где $\Phi$ — конечное значение магнитного потока (начальное равно нулю). Итак, величина $\text{q}$ не зависит от скорости процесса. Выделившееся в цепи количество теплоты $\text{Q}$ равно работе сторонних сил: $Q = q\mathcal{E}_i$. Поскольку $\mathcal{E}_i$ пропорциональна скорости изменения магнитного потока, при быстром вдвигании магнита $\text{Q}$ больше.

Решение.

Решение

Одинаковый ли заряд проходит по цепи в обоих случаях?
Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $ℰ_i$, возникающая в катушке, равна скорости изменения магнитного потока $Φ$ через неё, взятой со знаком минус:
$ℰ_i = - \frac{dΦ}{dt}$
По закону Ома для замкнутой цепи, индукционный ток $I$ в катушке с сопротивлением $R$ будет равен:
$I = \frac{ℰ_i}{R} = - \frac{1}{R} \frac{dΦ}{dt}$
По определению, сила тока – это скорость прохождения заряда через поперечное сечение проводника: $I = \frac{dq}{dt}$.
Приравнивая два выражения для силы тока, получаем:
$\frac{dq}{dt} = - \frac{1}{R} \frac{dΦ}{dt}$
Отсюда можно выразить элементарный заряд $dq$, который проходит по цепи за время $dt$: $dq = - \frac{1}{R} dΦ$.
Для нахождения полного заряда $q$, прошедшего по цепи за всё время движения магнита, проинтегрируем это выражение. Начальный магнитный поток (когда магнит далеко) примем за $Φ_1 = 0$, а конечный (когда магнит вдвинут в катушку) – за $Φ_2$.
$q = \int_0^q dq = - \frac{1}{R} \int_{Φ_1}^{Φ_2} dΦ = - \frac{Φ_2 - Φ_1}{R} = - \frac{ΔΦ}{R}$
Как видно из формулы, прошедший по цепи заряд $q$ зависит только от полного изменения магнитного потока $ΔΦ$ и сопротивления катушки $R$. Поскольку начальное и конечное положения магнита в обоих случаях (быстром и медленном) одинаковы, то и изменение магнитного потока $ΔΦ$ будет одинаковым. Следовательно, полный заряд, прошедший через катушку, не зависит от скорости введения магнита.
Ответ: Да, заряд, проходящий по цепи, в обоих случаях одинаковый.

Одинаковое ли количество теплоты выделяется?
Количество теплоты $Q$, выделяющееся в катушке, определяется законом Джоуля-Ленца. Мгновенная мощность тепловых потерь равна $P = I^2 R$. Полное количество теплоты – это интеграл от мощности по времени:
$Q = \int_{t_1}^{t_2} P(t) dt = \int_{t_1}^{t_2} I^2 R dt$
Подставим в эту формулу выражение для индукционного тока $I = - \frac{1}{R} \frac{dΦ}{dt}$:
$Q = \int_{t_1}^{t_2} \left(-\frac{1}{R}\frac{dΦ}{dt}\right)^2 R dt = \frac{1}{R} \int_{t_1}^{t_2} \left(\frac{dΦ}{dt}\right)^2 dt$
При быстром вдвигании магнита то же самое изменение потока $ΔΦ$ происходит за меньший промежуток времени $Δt$. Это означает, что скорость изменения магнитного потока $\frac{dΦ}{dt}$ в среднем будет больше, чем при медленном вдвигании. Соответственно, мгновенные значения ЭДС индукции $ℰ_i$ и тока $I$ при быстром движении будут больше.
Поскольку выделяемая мощность $P = I^2 R$ пропорциональна квадрату силы тока, она будет значительно больше при быстром вдвигании магнита. Хотя время процесса меньше, зависимость от квадрата скорости изменения потока оказывается решающей, и в итоге выделяется большее количество теплоты.
Это можно также объяснить с точки зрения закона сохранения энергии. При вдвигании магнита в катушку возникает индукционный ток, который по правилу Ленца создаёт магнитное поле, препятствующее этому вдвиганию (возникает сила отталкивания). Чтобы вдвинуть магнит, необходимо совершить работу против этой силы. Эта работа и превращается в тепло. Сила отталкивания пропорциональна силе индукционного тока. Так как при быстром движении ток больше, то и сила отталкивания больше. Следовательно, для перемещения магнита на то же расстояние нужно совершить большую работу, которая и выделится в виде тепла.
Ответ: Нет, количество теплоты не одинаковое. При быстром вдвигании магнита выделяется большее количество теплоты.