Номер 32.10, страница 233 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 32. Электромагнитная индукция. Магнитное поле. Электродинамика - номер 32.10, страница 233.

Условие.

32.10. Металлическое кольцо радиусом $\text{l}$ находится в однородном магнитном поле с индукцией $\vec{B}$, перпендикулярной плоскости кольца. Две металлические стрелки сопротивлением $\text{R}$ каждая имеют контакт между собой и с кольцом (см. рисунок). Одна стрелка неподвижна, а другая равномерно вращается с угловой скоростью $\omega$. Найдите силу тока $\text{I}$, текущего через стрелки. Сопротивлением кольца можно пренебречь.

☑ $ I = \frac{\omega Bl^2}{4R}$

Решение. ЭДС индукции можно найти, применив закон электромагнитной индукции к любому из двух секторов, на которые стрелки делят круг:

$\mathcal{E}_i = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = -B \frac{\Delta (\alpha l^2/2)}{\Delta t} = -\frac{B\omega l^2}{2}$

Здесь $\alpha$ — угол между стрелками, $\omega = \Delta \alpha / \Delta t$. Согласно закону Ома $I = \frac{|\mathcal{E}_i|}{2R} = \frac{\omega Bl^2}{4R}$.

Решение.

Дано:

Радиус кольца (длина стрелки) - $l$

Индукция однородного магнитного поля - $B$

Сопротивление каждой стрелки - $R$

Угловая скорость вращающейся стрелки - $\omega$

Сопротивление кольца пренебрежимо мало.

Найти:

Силу тока, текущего через стрелки - $I$

Решение:

Задачу можно решить двумя способами: используя понятие ЭДС индукции в движущемся проводнике (сила Лоренца) или используя закон электромагнитной индукции Фарадея.

1. Метод с использованием ЭДС в движущемся проводнике.

При вращении металлической стрелки в магнитном поле на свободные заряды в ней действует сила Лоренца, которая заставляет их перемещаться. Это приводит к возникновению электродвижущей силы (ЭДС). ЭДС, возникающая во вращающейся с угловой скоростью $\omega$ стрелке длиной $l$ в перпендикулярном магнитном поле $B$, равна:

$\mathcal{E}_{вр} = \frac{B \omega l^2}{2}$

Эта ЭДС направлена вдоль стержня (от центра к ободу или наоборот, в зависимости от направления вращения и поля). Вторая стрелка неподвижна, поэтому ЭДС в ней не возникает:

$\mathcal{E}_{неподв} = 0$

Обе стрелки соединены в центре и на ободе кольца (сопротивление которого равно нулю). Таким образом, они образуют замкнутую электрическую цепь. В этой цепи вращающаяся стрелка является источником ЭДС, а обе стрелки – резисторами, включенными последовательно. Суммарная ЭДС в контуре равна разности ЭДС двух стрелок, а общее сопротивление – их сумме:

$\mathcal{E}_{общ} = \mathcal{E}_{вр} - \mathcal{E}_{неподв} = \frac{B \omega l^2}{2}$

$R_{общ} = R + R = 2R$

Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока $I$ в ней будет равна:

$I = \frac{\mathcal{E}_{общ}}{R_{общ}} = \frac{\frac{B \omega l^2}{2}}{2R} = \frac{B \omega l^2}{4R}$

2. Метод с использованием закона Фарадея.

Две стрелки и дуга кольца между ними образуют замкнутый контур в виде сектора. Поскольку одна стрелка вращается, а другая неподвижна, площадь этого сектора изменяется со временем. Пусть в момент времени $t$ угол между стрелками равен $\alpha$. Тогда площадь сектора равна:

$S = \frac{1}{2}\alpha l^2$

Так как одна стрелка вращается с угловой скоростью $\omega$, угол между стрелками изменяется по закону $\alpha = \omega t$ (если в начальный момент они совпадали). Магнитный поток $\Phi$ через этот сектор равен:

$\Phi = B \cdot S = B \cdot \frac{1}{2} \omega t l^2$

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции в контуре равна скорости изменения магнитного потока через него:

$\mathcal{E} = \left| -\frac{d\Phi}{dt} \right| = \left| -\frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} B \omega l^2 t \right) \right| = \frac{1}{2} B \omega l^2$

Эта ЭДС действует в контуре, состоящем из двух последовательно соединенных стрелок (с общим сопротивлением $2R$) и дуги кольца (с нулевым сопротивлением). По закону Ома, ток в цепи равен:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R_{общ}} = \frac{\frac{1}{2} B \omega l^2}{2R} = \frac{B \omega l^2}{4R}$

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: $I = \frac{\omega B l^2}{4R}$