Номер 31.6, страница 222 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Магнитное поле. 31. Магнитное поле. Вектор магнитной индукции. Упражнения - номер 31.6, страница 222.

Условие.

31.6. По жесткому кольцу из медной проволоки течет ток си- лой $I = 5,0 \text{ А}$. Кольцо находится в перпендикулярном к его плоскости магнитном поле с индукцией $B = 0,50 \text{ Тл}$. Найдите растягивающее механическое напряжение $\sigma$ в проволоке, если радиус кольца $R = 5,0 \text{ см}$, а площадь сечения проволоки $S = 3,0 \text{ мм}^2$. Магнитным взаимодей- ствием между различными участками кольца можно пренебречь.

☑ $\sigma = 42 \text{ кПа}$.

Решение. На малый элемент кольца (см. рисунок) действует сила Ампера $F_A = IB\Delta l = IBR\alpha$ и две равные по модулю силы упругости. Из условия равновесия следует, что $F_{\text{упр}} = \frac{F_A}{2 \sin \frac{\alpha}{2}} = IBR$ (мы воспользовались малостью угла $\alpha$).

Тогда $\sigma = F_{\text{упр}}/S = IBR/S = 42 \text{ (кПа)}$.

Решение.

Дано:

$I = 5,0 \text{ А}$

$B = 0,50 \text{ Тл}$

$R = 5,0 \text{ см} = 5,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$S = 3,0 \text{ мм}^2 = 3,0 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 3,0 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

Найти:

$σ$

Решение:

На кольцо с током, помещенное в магнитное поле, действует сила Ампера. Так как плоскость кольца перпендикулярна вектору магнитной индукции, сила Ампера будет действовать в плоскости кольца и будет направлена радиально от центра, растягивая кольцо.

Рассмотрим малый элемент кольца длиной $Δl$, соответствующий центральному углу $α$. Длина дуги этого элемента равна $Δl = Rα$.

Сила Ампера $F_A$, действующая на этот элемент, перпендикулярна как элементу тока, так и магнитному полю. Ее модуль равен:

$F_A = I B Δl = I B R α$

Эта сила уравновешивается равнодействующей двух сил упругости (натяжения) $F_{упр}$, которые действуют на концах элемента по касательной к кольцу. Для равновесия, радиальная составляющая сил упругости должна быть равна по модулю и противоположна по направлению силе Ампера.

Проекция двух сил упругости на радиальное направление равна $2 F_{упр} \sin\left(\frac{α}{2}\right)$.

Запишем условие равновесия для малого элемента кольца:

$F_A = 2 F_{упр} \sin\left(\frac{α}{2}\right)$

Подставим выражение для силы Ампера:

$I B R α = 2 F_{упр} \sin\left(\frac{α}{2}\right)$

Выразим силу упругости:

$F_{упр} = \frac{I B R α}{2 \sin\left(\frac{α}{2}\right)}$

Так как мы рассматриваем бесконечно малый элемент, угол $α$ очень мал. Для малых углов (в радианах) можно использовать приближение $\sin(x) \approx x$. Следовательно, $\sin\left(\frac{α}{2}\right) \approx \frac{α}{2}$.

Тогда выражение для силы упругости упрощается:

$F_{упр} = \frac{I B R α}{2 \cdot \frac{α}{2}} = I B R$

Растягивающее механическое напряжение $σ$ в проволоке определяется как отношение силы упругости к площади поперечного сечения $S$:

$σ = \frac{F_{упр}}{S} = \frac{I B R}{S}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$σ = \frac{5,0 \text{ А} \cdot 0,50 \text{ Тл} \cdot 5,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}}{3,0 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2} = \frac{0,125 \text{ Н}}{3,0 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2} \approx 41667 \text{ Па}$

Переведем результат в килопаскали (1 кПа = 1000 Па):

$41667 \text{ Па} \approx 42 \text{ кПа}$

Ответ: $σ \approx 42 \text{ кПа}$.