Номер 31.4, страница 221 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Магнитное поле. 31. Магнитное поле. Вектор магнитной индукции. Упражнения - номер 31.4, страница 221.

Условие.

31.4. Как зависит период $\text{T}$ обращения электрона по окружности (см. задачу 31.3) от скорости электрона?

Решение. Период обращения электрона по окружности не зависит от скорости: $T = 2\pi R/v = 2\pi m/(eB)$ (см. задачу 31.3).

Решение.

Решение

Рассмотрим движение электрона в однородном магнитном поле, перпендикулярно линиям магнитной индукции. На электрон, как на движущийся заряд, действует сила Лоренца. Эта сила всегда направлена перпендикулярно вектору скорости электрона, поэтому она не изменяет величину скорости, а только ее направление, заставляя электрон двигаться по окружности.

Величина силы Лоренца $F_Л$, действующей на электрон (заряд $e$, масса $m$), движущийся со скоростью $v$ в магнитном поле с индукцией $B$, определяется формулой (при условии, что $v \perp B$):

$F_Л = e v B$

Эта сила Лоренца является центростремительной силой $F_ц$, которая удерживает электрон на круговой траектории радиусом $R$. Центростремительная сила выражается через второй закон Ньютона:

$F_ц = m a_ц = \frac{m v^2}{R}$

Поскольку сила Лоренца и есть та самая центростремительная сила ($F_Л = F_ц$), мы можем приравнять правые части этих двух уравнений:

$e v B = \frac{m v^2}{R}$

Из этого соотношения мы можем выразить радиус окружности $R$, по которой движется электрон:

$R = \frac{m v^2}{e v B} = \frac{m v}{e B}$

Как видно из этой формулы, радиус траектории электрона прямо пропорционален его скорости: чем больше скорость, тем больше радиус окружности.

Теперь определим период обращения $T$. Период — это время, за которое электрон совершает один полный оборот. Его можно найти, разделив длину окружности $L = 2\pi R$ на скорость движения $v$:

$T = \frac{L}{v} = \frac{2\pi R}{v}$

Подставим в эту формулу ранее найденное выражение для радиуса $R$:

$T = \frac{2\pi}{v} \left( \frac{m v}{e B} \right)$

Сократив скорость $v$ в числителе и знаменателе, получаем окончательное выражение для периода:

$T = \frac{2\pi m}{e B}$

Как видно из итоговой формулы, период обращения электрона $T$ зависит только от его массы $m$, заряда $e$ и индукции магнитного поля $B$. Все эти величины в рамках данной задачи являются константами. Скорость $v$ в финальное выражение не входит.

Ответ: Период обращения электрона по окружности в однородном магнитном поле не зависит от скорости электрона. Он определяется отношением массы и заряда частицы, а также величиной индукции магнитного поля: $T = \frac{2\pi m}{e B}$.