Номер 124, страница 218 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 30. Электрический ток в металлах, жидкостях, газах и вакууме. Полупроводники. Постоянный электрический ток. Электродинамика - номер 124, страница 218.

Условие.

O24. Пучок электронов, разогнанных напряжением $U_1 = 5 \text{ кВ}$, влетает в плоский конденсатор посередине между пластинами и параллельно им. Длина конденсатора $l = 10 \text{ см}$, расстояние между пластинами $d = 10 \text{ мм}$. При каком наименьшем напряжении $U_2$ на конденсаторе электроны не будут вылетать из него?

☑ 100 В.

Решение. Движение электрона, влетевшего в конденсатор параллельно его пластинам, напоминает движение тела, брошенного горизонтально (см. рисунок). Электроны не будут вылетать из конденсатора, если $at^2/2 \ge d/2$. Ускорение $a = \frac{eE}{m_e} = \frac{eU_2}{dm_e}$, а время движения электрона в конденсаторе $t = \frac{l}{v} = l\sqrt{\frac{m_e}{2eU_1}}$. Отсюда $U_2 = 2d^2U_1/l^2$.

Решение.

Дано:

$U_1 = 5 \text{ кВ}$

$l = 10 \text{ см}$

$d = 10 \text{ мм}$

Перевод в систему СИ:

$U_1 = 5 \cdot 10^3 \text{ В}$

$l = 0.1 \text{ м}$

$d = 0.01 \text{ м}$

Найти:

$U_2$

Решение:

1. Сначала найдем скорость, с которой электрон влетает в конденсатор. Электрон разгоняется напряжением $U_1$, и его кинетическая энергия равна работе электрического поля:

$\frac{m_e v^2}{2} = eU_1$

где $m_e$ — масса электрона, $e$ — заряд электрона, $v$ — его скорость.

Эта скорость направлена горизонтально, параллельно пластинам конденсатора.

2. Внутри конденсатора на электрон действует однородное электрическое поле, направленное перпендикулярно пластинам. Напряженность этого поля $E = \frac{U_2}{d}$.

Сила, действующая на электрон в вертикальном направлении: $F_y = eE = \frac{eU_2}{d}$.

Эта сила сообщает электрону постоянное вертикальное ускорение: $a_y = \frac{F_y}{m_e} = \frac{eU_2}{dm_e}$.

3. Движение электрона можно рассматривать как сумму двух независимых движений: равномерного по горизонтали (вдоль пластин) и равноускоренного по вертикали (перпендикулярно пластинам).

Время полета электрона внутри конденсатора определяется его горизонтальной скоростью $v$ и длиной пластин $l$:

$t = \frac{l}{v}$

4. Электрон влетает в конденсатор посередине. Чтобы он не вылетел, его вертикальное смещение $y$ за время полета $t$ должно быть как минимум равно половине расстояния между пластинами, то есть $\frac{d}{2}$. Минимальное напряжение $U_2$ соответствует предельному случаю, когда электрон попадает точно на край пластины.

Вертикальное смещение при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью: $y = \frac{a_y t^2}{2}$.

Приравниваем $y$ к $\frac{d}{2}$:

$\frac{d}{2} = \frac{a_y t^2}{2}$

$d = a_y t^2$

5. Подставим в это уравнение выражения для $a_y$ и $t$:

$d = \left(\frac{eU_2}{dm_e}\right) \left(\frac{l}{v}\right)^2 = \frac{eU_2 l^2}{dm_e v^2}$

Из первого шага мы знаем, что $m_e v^2 = 2eU_1$. Подставим это в знаменатель:

$d = \frac{eU_2 l^2}{d(2eU_1)}$

Сократим заряд электрона $e$:

$d = \frac{U_2 l^2}{2d U_1}$

6. Выразим из полученного уравнения искомое напряжение $U_2$:

$2d^2 U_1 = U_2 l^2$

$U_2 = \frac{2d^2 U_1}{l^2}$

7. Подставим числовые значения из системы СИ:

$U_2 = \frac{2 \cdot (0.01 \text{ м})^2 \cdot (5 \cdot 10^3 \text{ В})}{(0.1 \text{ м})^2} = \frac{2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 \cdot 5 \cdot 10^3 \text{ В}}{10^{-2} \text{ м}^2} = \frac{10 \cdot 10^{-1} \text{ В}}{10^{-2}} = \frac{1}{10^{-2}} \text{ В} = 100 \text{ В}$

Ответ: $100 \text{ В}$.