Номер 30.7, страница 217 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Постоянный электрический ток. 30. Электрический ток в металлах, жидкостях, газах и вакууме. Полупроводники. Упражнения - номер 30.7, страница 217.

Условие.

30.7. Какой наименьшей кинетической энергией $W_k$ и скоростью $\text{v}$ должен обладать ион неона, чтобы при столкновении его с неподвижным нейтральным атомом неона могла произойти ионизация атома? Потенциал ионизации атомов неона $\varphi = 21,5$ В.

☑ $W_k = 43 \text{ эВ} = 6,9 \cdot 10^{8} \text{ Дж}$; 20 км/с.

Решение. Поскольку массы сталкивающихся частиц практически одинаковы, следует учесть кинетическую энергию, которую имеют частицы после столкновения. Наиболее эффективным для ионизации является неупругий удар, после которого обе частицы имеют одинаковую скорость, равную половине начальной скорости иона $v_0$. Суммарная кинетическая энергия частиц после неупругого удара $2 \cdot \frac{m_0 (v_0/2)^2}{2} = \frac{W_k}{2}$. Здесь $m_0 = M/N_A$ ($\text{M}$ — молярная масса неона). Согласно закону сохранения энергии: $W_k = e\varphi + W_k/2$.

Отсюда $W_k = 2e\varphi = 43 \text{ (эВ)} = 6,9 \cdot 10^{8} \text{ (Дж)}$ и $v = 2\sqrt{\frac{eN_A\varphi}{M}} = 2,0 \cdot 10^4 \text{ (м/с)}$.

Таким образом, для ионизации одного и того же атома ион должен иметь вдвое большую энергию, чем электрон.

Решение.

Дано:

Потенциал ионизации атомов неона: $\phi = 21,5 \text{ В}$

Элементарный заряд: $e \approx 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Молярная масса неона: $M \approx 20,18 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$

Число Авогадро: $N_A \approx 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Масса иона неона $m_1$ и масса атома неона $m_2$ приблизительно равны: $m_1 \approx m_2 = m$

Найти:

Наименьшая кинетическая энергия иона: $W_k$

Наименьшая скорость иона: $v$

Решение:

Для того чтобы произошла ионизация, часть кинетической энергии налетающего иона должна перейти во внутреннюю энергию атома, достаточную для отрыва электрона. Минимальная необходимая для этого энергия — это энергия ионизации $W_{ион} = e\phi$.

Вопрос стоит о наименьшей начальной энергии иона, при которой ионизация возможна. Это соответствует ситуации, когда максимальная доля начальной кинетической энергии переходит во внутреннюю. Такой процесс происходит при абсолютно неупругом ударе, когда после столкновения обе частицы (ион и атом) движутся вместе с одинаковой скоростью $u$.

Так как сталкиваются ион неона и нейтральный атом неона, их массы можно считать одинаковыми: $m_1 = m_2 = m$.

Запишем закон сохранения импульса для системы "ион-атом". Начальный импульс системы равен импульсу налетающего иона (так как атом покоится), а конечный импульс — это импульс двух слипшихся частиц.

$m v = (m + m) u$

$m v = 2m u$

Отсюда находим скорость частиц после столкновения:

$u = \frac{v}{2}$

Теперь запишем закон сохранения энергии. Начальная энергия системы — это кинетическая энергия иона $W_k$. После столкновения эта энергия перераспределяется между суммарной кинетической энергией двух частиц $W_{k'}$ и энергией, пошедшей на ионизацию атома $W_{ион}$.

$W_k = W_{k'} + W_{ион}$

Начальная кинетическая энергия иона:

$W_k = \frac{m v^2}{2}$

Конечная кинетическая энергия системы:

$W_{k'} = \frac{(m+m)u^2}{2} = \frac{2m(\frac{v}{2})^2}{2} = \frac{2m \frac{v^2}{4}}{2} = \frac{m v^2}{4}$

Сравнивая выражения для $W_k$ и $W_{k'}$, видим, что $W_{k'} = \frac{W_k}{2}$. Это означает, что при абсолютно неупругом столкновении двух тел равной массы половина начальной кинетической энергии переходит в кинетическую энергию системы после удара, а вторая половина может быть преобразована во внутреннюю энергию.

Подставим это в закон сохранения энергии:

$W_k = \frac{W_k}{2} + W_{ион}$

Отсюда минимальная энергия, необходимая для ионизации, равна:

$\frac{W_k}{2} = W_{ион} = e\phi$

$W_k = 2 e \phi$

Таким образом, наименьшая кинетическая энергия налетающего иона должна быть вдвое больше энергии ионизации атома.

Вычислим значение $W_k$ в электрон-вольтах (эВ) и в джоулях (Дж):

$W_k = 2 \cdot 21,5 \text{ эВ} = 43 \text{ эВ}$

$W_k = 2 \cdot (1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot 21,5 \text{ В} = 6,88 \cdot 10^{-18} \text{ Дж} \approx 6,9 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

Теперь найдем начальную скорость иона $v$ из формулы кинетической энергии $W_k = \frac{m v^2}{2}$.

$v = \sqrt{\frac{2 W_k}{m}}$

Массу атома неона $m$ найдем через молярную массу $M$ и число Авогадро $N_A$:

$m = \frac{M}{N_A} = \frac{20,18 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 3,35 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$

Подставим значения и вычислим скорость:

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 6,9 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}}{3,35 \cdot 10^{-26} \text{ кг}}} \approx \sqrt{4,12 \cdot 10^8 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} \approx 2,03 \cdot 10^4 \text{ м/с}$

Округлим результат:

$v \approx 2,0 \cdot 10^4 \text{ м/с} = 20 \text{ км/с}$

Ответ: $W_k = 43 \text{ эВ} \approx 6,9 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$; $v \approx 2,0 \cdot 10^4 \text{ м/с} = 20 \text{ км/с}$.