Номер 30.3, страница 215 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Постоянный электрический ток. 30. Электрический ток в металлах, жидкостях, газах и вакууме. Полупроводники. Упражнения - номер 30.3, страница 215.

Условие.

30.3. При какой напряженности поля начнется самостоятельный разряд в водороде, если энергия ионизации молекул равна $2,5 \cdot 10^{8}$ Дж, а средняя длина свободного пробега 5 мкм? Какую скорость имеют электроны при ударе о молекулу?

☑ 3,1 МВ/м; 2300 км/с.

Решение. Самостоятельный разряд в водороде начнется, если энергия, приобретенная электроном в поле на длине свободного пробега l, равна энергии ионизации W.

$eEl = W$, тогда $E = \frac{W}{el}$.

Скорость v электрона при ионизации атомов определяется из условия равенства W и кинетической энергии:

$v = \sqrt{\frac{2W}{m}}$.

Проделав вычисления, получаем:

$E = \frac{2,5 \cdot 10^{8}}{1,6 \cdot 10^{9} \cdot 5 \cdot 10^{-6}} = 3,1(\text{МВ/м})$;

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 2,5 \cdot 10^{8}}{9,1 \cdot 10^{-31}}} = 2300 (\text{км/с})$.

Решение.

Дано:

Энергия ионизации молекул водорода, $W = 2,5 \cdot 10^{-18}$ Дж
Средняя длина свободного пробега электрона, $l = 5$ мкм
Элементарный заряд, $e \approx 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл
Масса электрона, $m_e \approx 9,1 \cdot 10^{-31}$ кг

$l = 5 \text{ мкм} = 5 \cdot 10^{-6} \text{ м}$

Найти:

$E$ - ?
$v$ - ?

Решение:

При какой напряженности поля начнется самостоятельный разряд в водороде?

Самостоятельный разряд в газе возникает, когда электрон, ускоренный электрическим полем на длине свободного пробега $l$, приобретает энергию, достаточную для ионизации молекулы. Эта энергия $A$, сообщаемая полем электрону, должна быть равна энергии ионизации $W$.

Работа электрического поля по перемещению заряда $e$ на расстояние $l$ в поле напряженностью $E$ равна:

$A = eEl$

Приравниваем эту работу к энергии ионизации:

$eEl = W$

Из этого уравнения выражаем искомую напряженность поля $E$:

$E = \frac{W}{el}$

Подставляем данные и вычисляем:

$E = \frac{2,5 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 5 \cdot 10^{-6} \text{ м}} = \frac{2,5 \cdot 10^{-18}}{8 \cdot 10^{-25}} \frac{\text{В}}{\text{м}} = 0,3125 \cdot 10^7 \frac{\text{В}}{\text{м}} = 3,125 \cdot 10^6 \frac{\text{В}}{\text{м}} \approx 3,1 \text{ МВ/м}$

Ответ: $E \approx 3,1$ МВ/м.

Какую скорость имеют электроны при ударе о молекулу?

Энергия, которую электрон приобрел от поля, переходит в его кинетическую энергию $E_k$. В момент столкновения эта энергия равна энергии ионизации $W$.

$E_k = \frac{m_e v^2}{2}$

Следовательно:

$\frac{m_e v^2}{2} = W$

Выражаем скорость $v$:

$v = \sqrt{\frac{2W}{m_e}}$

Подставляем данные и вычисляем:

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 2,5 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}}{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{5 \cdot 10^{-18}}{9,1 \cdot 10^{-31}}} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx \sqrt{0,54945 \cdot 10^{13}} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx \sqrt{5,4945 \cdot 10^{12}} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 2,344 \cdot 10^6 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Переводя в километры в секунду и округляя, получаем:

$v \approx 2344 \text{ км/с} \approx 2300 \text{ км/с}$

Ответ: $v \approx 2300$ км/с.