Номер 119, страница 211 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 29. Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца. Постоянный электрический ток. Электродинамика - номер 119, страница 211.

Условие.

O19. Электропоезд идет по горизонтальному участку пути с постоянной скоростью, а затем с другой постоянной скоростью преодолевает подъем с уклоном $k = 0,04$. Потребляемая сила тока на горизонтальном участке $I_1 = 240 \text{ А}$, а на подъеме $I_2 = 450 \text{ А}$. Коэффициент сопротивления движению $\mu = 0,02$. Найдите отношение скоростей $v_1$ и $v_2$ на этих двух участках, считая КПД двигателя неизменным.

☑ $\frac{v_1}{v_2} = 1,6$.

Решение. При равномерном движении по горизонтальному участку пути сила тяги $F_1 = \mu mg$; при равномерном движении на подъеме $F_2 = mg(\mu + k)$ (мы учли, что $k \ll 1$). Развиваемая механическая мощность $N = Fv$, а потребляемая электрическая мощность $P = UI$. Считая КПД двигателя неизменным, получаем $\frac{N_1}{P_1} = \frac{N_2}{P_2}$, откуда $\frac{v_1}{v_2} = \frac{I_1}{I_2} \left(1 + \frac{k}{\mu}\right) = 1,6$.

Решение.

Дано

Уклон подъема: $k = 0.04$

Сила тока на горизонтальном участке: $I_1 = 240$ А

Сила тока на подъеме: $I_2 = 450$ А

Коэффициент сопротивления движению: $\mu = 0.02$

КПД двигателя на обоих участках одинаков: $\eta_1 = \eta_2$

Найти:

$\frac{v_1}{v_2}$

Решение

1. Анализ сил, действующих на электропоезд.

На горизонтальном участке пути электропоезд движется с постоянной скоростью $v_1$. Согласно первому закону Ньютона, это означает, что сила тяги двигателя $F_1$ уравновешивает силу сопротивления движению $F_{сопр1}$.

$F_1 = F_{сопр1}$

Сила сопротивления движению пропорциональна силе нормальной реакции $N_1$. На горизонтальном участке сила нормальной реакции равна силе тяжести $mg$ ($m$ - масса поезда, $g$ - ускорение свободного падения).

$F_{сопр1} = \mu N_1 = \mu mg$

Следовательно, сила тяги на горизонтальном участке:

$F_1 = \mu mg$

На участке с подъемом электропоезд движется с постоянной скоростью $v_2$. Сила тяги $F_2$ уравновешивает сумму силы сопротивления $F_{сопр2}$ и скатывающей составляющей силы тяжести $F_{скат}$.

$F_2 = F_{сопр2} + F_{скат}$

Уклон $k$ для малых углов подъема $\alpha$ можно считать равным $\sin(\alpha)$. Тогда скатывающая сила $F_{скат} = mg \sin(\alpha) \approx mgk$. Сила нормальной реакции на подъеме $N_2 = mg \cos(\alpha)$. Для малых углов $\cos(\alpha) \approx 1$, поэтому сила сопротивления $F_{сопр2} = \mu N_2 \approx \mu mg$.

Таким образом, сила тяги на подъеме:

$F_2 = \mu mg + mgk = mg(\mu + k)$

2. Анализ мощности и КПД.

Механическая мощность, развиваемая двигателем, определяется формулой $N = Fv$. Электрическая мощность, потребляемая от сети, равна $P = UI$, где $U$ — напряжение в сети (считаем его постоянным).

Коэффициент полезного действия (КПД) двигателя — это отношение полезной (механической) мощности к затраченной (электрической) мощности:

$\eta = \frac{N}{P} = \frac{Fv}{UI}$

По условию, КПД на обоих участках одинаков: $\eta_1 = \eta_2$.

$\frac{N_1}{P_1} = \frac{N_2}{P_2}$

$\frac{F_1 v_1}{U I_1} = \frac{F_2 v_2}{U I_2}$

Сократив постоянное напряжение $U$, получим:

$\frac{F_1 v_1}{I_1} = \frac{F_2 v_2}{I_2}$

3. Расчет отношения скоростей.

Выразим из последнего равенства искомое отношение скоростей $\frac{v_1}{v_2}$:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{F_2}{F_1} \cdot \frac{I_1}{I_2}$

Подставим выражения для сил $F_1$ и $F_2$:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{mg(\mu + k)}{\mu mg} \cdot \frac{I_1}{I_2}$

Сократим $mg$:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\mu + k}{\mu} \cdot \frac{I_1}{I_2} = (1 + \frac{k}{\mu}) \frac{I_1}{I_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\frac{v_1}{v_2} = (1 + \frac{0.04}{0.02}) \cdot \frac{240}{450} = (1 + 2) \cdot \frac{24}{45} = 3 \cdot \frac{8}{15} = \frac{24}{15} = \frac{8}{5} = 1.6$

Ответ: Отношение скоростей $\frac{v_1}{v_2}$ равно 1,6.