Номер 29.7, страница 209 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 29. Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца. Постоянный электрический ток. Электродинамика - номер 29.7, страница 209.

Условие.

29.7. Найдите ток короткого замыкания $I_{\text{кз}}$ аккумуляторной батареи, если при токе $I_1 = 5 \text{ А}$ нагрузка потребляет мощность $P_1 = 30 \text{ Вт}$, а при токе $I_2 = 10 \text{ А}$ она потребляет мощность $P_2 = 40 \text{ Вт}$.

☑ 20 А.

Решение. Из уравнения $P = I^2 R$ определяем сопротивление нагрузки в обоих случаях: $R_1 = \frac{P_1}{I_1^2}$, $R_2 = \frac{P_2}{I_2^2}$.

Из закона Ома для замкнутой цепи следует: $\mathcal{E} = I_1(r+R_1)=I_2(r+R_2)$.

Отсюда $r = \frac{I_1 R_1 - I_2 R_2}{I_2 - I_1}$, $\mathcal{E} = \frac{I_1 I_2 (R_1 - R_2)}{I_2 - I_1}$.

С учетом, что $I_{\text{кз}} = \mathcal{E}/r$, получаем: $I_{\text{кз}} = \frac{I_1 I_2 (R_1 - R_2)}{I_1 R_1 - I_2 R_2} = \frac{P_1 I_2^2 - P_2 I_1^2}{P_1 I_2 - P_2 I_1} = 20 \text{ (А)}$.

Решение.

Дано:

$I_1 = 5$ А

$P_1 = 30$ Вт

$I_2 = 10$ А

$P_2 = 40$ Вт

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$I_{кз}$ - ?

Решение:

Ток короткого замыкания $I_{кз}$ определяется по формуле $I_{кз} = \frac{\mathcal{E}}{r}$, где $\mathcal{E}$ — ЭДС источника, а $r$ — его внутреннее сопротивление.

Для нахождения $\mathcal{E}$ и $r$ воспользуемся законом Ома для полной цепи: $\mathcal{E} = I(R+r)$, где $I$ — сила тока в цепи, $R$ — сопротивление внешней нагрузки.

Мощность, потребляемая нагрузкой, связана с током и сопротивлением соотношением $P = I^2 R$. Отсюда можно выразить сопротивление нагрузки для каждого из двух случаев:

1. В первом случае сопротивление нагрузки $R_1$ равно:

$R_1 = \frac{P_1}{I_1^2} = \frac{30 \text{ Вт}}{(5 \text{ А})^2} = \frac{30}{25} \text{ Ом} = 1.2 \text{ Ом}$

2. Во втором случае сопротивление нагрузки $R_2$ равно:

$R_2 = \frac{P_2}{I_2^2} = \frac{40 \text{ Вт}}{(10 \text{ А})^2} = \frac{40}{100} \text{ Ом} = 0.4 \text{ Ом}$

Теперь составим систему уравнений, используя закон Ома для полной цепи для обоих случаев. ЭДС $\mathcal{E}$ и внутреннее сопротивление $r$ аккумулятора остаются неизменными.

$\begin{cases} \mathcal{E} = I_1(R_1 + r) \\ \mathcal{E} = I_2(R_2 + r) \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны:

$I_1(R_1 + r) = I_2(R_2 + r)$

Подставим известные значения и решим уравнение относительно $r$:

$5(1.2 + r) = 10(0.4 + r)$

$6 + 5r = 4 + 10r$

$10r - 5r = 6 - 4$

$5r = 2$

$r = \frac{2}{5} = 0.4 \text{ Ом}$

Теперь найдем ЭДС $\mathcal{E}$, подставив значение $r$ в любое из двух уравнений системы. Возьмем первое:

$\mathcal{E} = I_1(R_1 + r) = 5(1.2 + 0.4) = 5 \cdot 1.6 = 8 \text{ В}$

Наконец, найдем ток короткого замыкания:

$I_{кз} = \frac{\mathcal{E}}{r} = \frac{8 \text{ В}}{0.4 \text{ Ом}} = 20 \text{ А}$

Ответ: $I_{кз} = 20 \text{ А}$.