Номер 118, страница 206 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Постоянный электрический ток. 28. Электродвижущая сила. Закон Ома для полной цепи. Олимпиадные задачи - номер 118, страница 206.

Условие.

О18. Резистор с сопротивлением R подключают к клеммам A и B (см. рисунок). Найдите силу тока I через этот резистор.

Решение. Напряжение между точками С и D после подключения резистора составляет $U_{CD} = \frac{\mathcal{E} R_{CD}}{r + R_{CD}}$, где $R_{CD} = \frac{R_1 (R_2 + R)}{R_1 + R_2 + R}$. Следовательно, $I = \frac{U_{CD}}{R_2 + R} = \frac{\mathcal{E} R_1}{(r + R_1)(R + R_2) + r R_1}$.

Замечание. Этот результат можно записать в виде $I = \frac{\mathcal{E}'}{r' + R}$, где $\mathcal{E}' = \frac{\mathcal{E} R_1}{r + R_1}$ — напряжение между разомкнутыми клеммами A и B, а $r' = R_2 + \frac{r R_1}{r + R_1}$ — сопротивление показанного на рисунке в условии задачи двухполюсника между точками А и В. Таким образом, данный двухполюсник можно рассматривать как источник тока с электродвижущей силой $\mathcal{E}'$ и внутренним сопротивлением $r'$. Этот подход применим к любому двухполюснику, состоящему из линейных (т. е. подчиняющихся закону Ома) элементов.

Решение.

Решение

Задачу можно решить несколькими способами. Приведем два наиболее наглядных.

Способ 1. Прямой расчет по закону Ома

1. Найдем эквивалентное сопротивление участка цепи, подключенного к точкам C и D. Этот участок состоит из резистора $R_1$, соединенного параллельно с ветвью, в которой последовательно соединены резисторы $R_2$ и $R$. Сопротивление этой ветви равно $R_2 + R$.

Эквивалентное сопротивление $R_{CD}$ участка CD найдем из формулы для параллельного соединения:

$\frac{1}{R_{CD}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2 + R} = \frac{R_2 + R + R_1}{R_1(R_2 + R)}$

Отсюда:

$R_{CD} = \frac{R_1(R_2 + R)}{R_1 + R_2 + R}$

2. Теперь вся внешняя цепь для источника ЭДС $(\mathcal{E}, r)$ представляет собой одно сопротивление $R_{CD}$. По закону Ома для полной цепи, общий ток $I_{общ}$, текущий от источника, равен:

$I_{общ} = \frac{\mathcal{E}}{r + R_{CD}}$

3. Напряжение между точками C и D (напряжение на внешней цепи) составляет:

$U_{CD} = I_{общ} \cdot R_{CD} = \frac{\mathcal{E} R_{CD}}{r + R_{CD}}$

4. Это напряжение $U_{CD}$ приложено к ветви, содержащей последовательно соединенные резисторы $R_2$ и $R$. Искомый ток $I$ протекает именно через эту ветвь. По закону Ома для участка цепи:

$I = \frac{U_{CD}}{R_2 + R}$

5. Подставим выражение для $U_{CD}$ и затем для $R_{CD}$ в последнюю формулу:

$I = \frac{1}{R_2 + R} \cdot \frac{\mathcal{E} R_{CD}}{r + R_{CD}} = \frac{1}{R_2 + R} \cdot \frac{\mathcal{E} \frac{R_1(R_2 + R)}{R_1 + R_2 + R}}{r + \frac{R_1(R_2 + R)}{R_1 + R_2 + R}}$

Сократим множитель $(R_2 + R)$ в числителе и в левой части выражения:

$I = \frac{\mathcal{E} \frac{R_1}{R_1 + R_2 + R}}{r + \frac{R_1(R_2 + R)}{R_1 + R_2 + R}}$

Умножим числитель и знаменатель дроби на $(R_1 + R_2 + R)$, чтобы упростить выражение:

$I = \frac{\mathcal{E} R_1}{r(R_1 + R_2 + R) + R_1(R_2 + R)}$

Способ 2. Метод эквивалентного генератора (Теорема Тевенена)

Рассмотрим часть схемы слева от клемм A и B как двухполюсник. Согласно теореме об эквивалентном генераторе, этот двухполюсник можно заменить одним источником с ЭДС $\mathcal{E}'$ и внутренним сопротивлением $r'$.

1. Найдем ЭДС эквивалентного генератора $\mathcal{E}'$. Она равна напряжению холостого хода между клеммами A и B, т.е. когда резистор $R$ отключен.

При отключенном $R$ ток через резистор $R_2$ не течет, поэтому потенциал точки A равен потенциалу точки C, а потенциал точки B равен потенциалу точки D. Искомое напряжение $\mathcal{E}' = U_{AB} = U_{CD}$. В этом режиме ток $I_0$ течет только в замкнутом контуре, содержащем источник и резистор $R_1$: $I_0 = \frac{\mathcal{E}}{r + R_1}$. Напряжение на резисторе $R_1$ и есть искомая ЭДС:

$\mathcal{E}' = U_{CD} = I_0 R_1 = \frac{\mathcal{E} R_1}{r + R_1}$

2. Найдем внутреннее сопротивление эквивалентного генератора $r'$. Оно равно сопротивлению двухполюсника между клеммами A и B, если мысленно заменить источник ЭДС на проводник с нулевым сопротивлением (закоротить его).

В этом случае внутреннее сопротивление источника $r$ и резистор $R_1$ оказываются соединены параллельно. Их общее сопротивление $R_{r1} = \frac{r R_1}{r + R_1}$. Резистор $R_2$ соединен с этой параллельной парой последовательно. Таким образом, эквивалентное сопротивление равно:

$r' = R_2 + R_{r1} = R_2 + \frac{r R_1}{r + R_1}$

3. Теперь, когда мы подключаем резистор $R$ к этому эквивалентному генератору, ток $I$ через него по закону Ома для полной цепи будет:

$I = \frac{\mathcal{E}'}{r' + R} = \frac{\frac{\mathcal{E} R_1}{r + R_1}}{R_2 + \frac{r R_1}{r + R_1} + R}$

Умножим числитель и знаменатель на $(r + R_1)$:

$I = \frac{\mathcal{E} R_1}{(R_2 + R)(r + R_1) + r R_1}$

Раскрыв скобки в знаменателе, можно убедиться, что полученный результат полностью совпадает с результатом, полученным первым способом.

Ответ: $I = \frac{\mathcal{E} R_1}{r(R_1 + R_2 + R) + R_1(R_2 + R)}$ или, в другой группировке, $I = \frac{\mathcal{E} R_1}{(r + R_1)(R_2 + R) + r R_1}$.