Номер 117, страница 205 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Постоянный электрический ток. 28. Электродвижущая сила. Закон Ома для полной цепи. Олимпиадные задачи - номер 117, страница 205.

Условие.

Q17. N одинаковых элементов надо соединить в батарею согласно схеме, показанной на рисунке. Внутреннее сопротивление каждого элемента r. При каких значениях m и n сила тока через резистор с сопротивлением R, подключенный к батарее, будет наибольшей? Решите задачу при N = 100, r = 1 Ом, R = 2 Ом.

Решение. Обозначим ЭДС каждого из элементов $\mathscr{E}$, тогда полная ЭДС батареи $n\mathscr{E}$; ее внутреннее сопротивление $nr/m$. Поскольку $m = N/n$, сила тока через резистор будет равна $I = \frac{n\mathscr{E}}{nr/m + R} = \frac{N\mathscr{E}}{nr + \frac{N}{n}R}$

Минимальное значение знаменателя этого выражения достигается при $nr = NR/n$, то есть при $n = \sqrt{\frac{NR}{r}}$ и $m = \sqrt{\frac{Nr}{R}}$.

При этом внутреннее сопротивление батареи совпадает с сопротивлением нагрузки.

При заданных числовых значениях получаем $n_0 = 14,1 \approx 14$, $m_0 = 7,07 \approx 7$. Таким образом, наибольшее значение силы тока достигается, если использовать только 98 из 100 элементов.

Решение.

Дано:

$N = 100$

$r = 1 \text{ Ом}$

$R = 2 \text{ Ом}$

Найти:

$m - ?$

$n - ?$

Решение:

Пусть ЭДС каждого элемента равна $\mathcal{E}$. Батарея состоит из $m$ параллельно соединенных ветвей, в каждой из которых по $n$ последовательно соединенных элементов.

ЭДС каждой ветви равна сумме ЭДС элементов в ней: $E_{ветви} = n\mathcal{E}$.

Внутреннее сопротивление каждой ветви равно сумме внутренних сопротивлений элементов: $r_{ветви} = nr$.

При параллельном соединении $m$ одинаковых ветвей общая ЭДС батареи равна ЭДС одной ветви:

$E_{бат} = E_{ветви} = n\mathcal{E}$

Общее внутреннее сопротивление батареи $r_{бат}$ находится из соотношения для параллельно соединенных сопротивлений:

$\frac{1}{r_{бат}} = \sum_{i=1}^{m} \frac{1}{r_{ветви}} = \frac{m}{r_{ветви}} = \frac{m}{nr}$

Отсюда $r_{бат} = \frac{nr}{m}$.

Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока через резистор $R$ равна:

$I = \frac{E_{бат}}{R + r_{бат}} = \frac{n\mathcal{E}}{R + \frac{nr}{m}}$

Общее число элементов $N$ связано с $m$ и $n$ соотношением $N = mn$. Отсюда можно выразить $m = \frac{N}{n}$. Подставим это в формулу для тока:

$I(n) = \frac{n\mathcal{E}}{R + \frac{nr}{N/n}} = \frac{n\mathcal{E}}{R + \frac{n^2r}{N}} = \frac{Nn\mathcal{E}}{NR + n^2r}$

Чтобы найти значение $n$, при котором сила тока $I$ максимальна, нужно найти максимум функции $I(n)$. Это эквивалентно поиску минимума обратной величины (пренебрегая постоянным множителем $1/(N\mathcal{E})$):

$f(n) = \frac{1}{I(n)} \propto \frac{NR + n^2r}{n} = \frac{NR}{n} + nr$

Возьмем производную функции $f(n)$ по $n$ и приравняем ее к нулю, чтобы найти точку экстремума:

$f'(n) = (\frac{NR}{n} + nr)' = -\frac{NR}{n^2} + r = 0$

$r = \frac{NR}{n^2} \implies n^2 = \frac{NR}{r}$

$n = \sqrt{\frac{NR}{r}}$

Это условие максимума тока. Оно соответствует равенству внутреннего сопротивления батареи и внешнего сопротивления нагрузки: $r_{бат} = R$.

Подставим числовые значения для нахождения оптимальных (не обязательно целочисленных) $n_0$ и $m_0$:

$n_0 = \sqrt{\frac{100 \cdot 2}{1}} = \sqrt{200} \approx 14,14$

Аналогично можно найти оптимальное значение для $m_0$:

$m_0 = \sqrt{\frac{Nr}{R}} = \sqrt{\frac{100 \cdot 1}{2}} = \sqrt{50} \approx 7,07$

Поскольку числа $m$ и $n$ должны быть целыми, а их произведение не должно превышать 100 ($mn \le 100$), необходимо проверить целочисленные значения, близкие к найденным оптимальным $m_0$ и $n_0$.

Проверим комбинации, ближайшие к $(m_0, n_0) \approx (7,07, 14,14)$:

1. Пусть $m = 7$. Тогда $n \le \frac{100}{7} \approx 14,28$. Ближайшее целое $n=14$.
Для пары $(m=7, n=14)$ общее число элементов $mn = 7 \cdot 14 = 98 \le 100$.
Сила тока (в единицах $\mathcal{E}$): $I_1 = \frac{14}{R + \frac{14r}{7}} = \frac{14}{2 + \frac{14 \cdot 1}{7}} = \frac{14}{2+2} = \frac{14}{4} = 3,5\mathcal{E}$.

2. Пусть $m = 8$. Тогда $n \le \frac{100}{8} = 12,5$. Ближайшее целое $n=12$.
Для пары $(m=8, n=12)$ общее число элементов $mn = 8 \cdot 12 = 96 \le 100$.
Сила тока: $I_2 = \frac{12}{R + \frac{12r}{8}} = \frac{12}{2 + \frac{12 \cdot 1}{8}} = \frac{12}{2+1,5} = \frac{12}{3,5} \approx 3,43\mathcal{E}$.

Сравнивая полученные значения тока, видим, что $I_1 > I_2$. Следовательно, наибольшая сила тока достигается при $m=7$ и $n=14$.

Ответ: Наибольшая сила тока будет при $m = 7$ параллельных ветвях и $n = 14$ последовательных элементах в каждой ветви.