Номер 117, страница 205 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Авторы: Гельфгат И. М., Генденштейн Л. Э., Кирик Л. А.
Тип: Задачник
Издательство: Илекса
Год издания: 2008 - 2025
Уровень обучения: профильный
Цвет обложки: красный лупа, парень едет на велосипеде
ISBN: 978-5-89237-252-7
Популярные ГДЗ в 10 классе
Олимпиадные задачи. 28. Электродвижущая сила. Закон Ома для полной цепи. Постоянный электрический ток. Электродинамика - номер 117, страница 205.
№117 (с. 205)
Условие. №117 (с. 205)
скриншот условия

Q17. N одинаковых элементов надо соединить в батарею согласно схеме, показанной на рисунке. Внутреннее сопротивление каждого элемента r. При каких значениях m и n сила тока через резистор с сопротивлением R, подключенный к батарее, будет наибольшей? Решите задачу при N = 100, r = 1 Ом, R = 2 Ом.
Решение. Обозначим ЭДС каждого из элементов $\mathscr{E}$, тогда полная ЭДС батареи $n\mathscr{E}$; ее внутреннее сопротивление $nr/m$. Поскольку $m = N/n$, сила тока через резистор будет равна $I = \frac{n\mathscr{E}}{nr/m + R} = \frac{N\mathscr{E}}{nr + \frac{N}{n}R}$
Минимальное значение знаменателя этого выражения достигается при $nr = NR/n$, то есть при $n = \sqrt{\frac{NR}{r}}$ и $m = \sqrt{\frac{Nr}{R}}$.
При этом внутреннее сопротивление батареи совпадает с сопротивлением нагрузки.
При заданных числовых значениях получаем $n_0 = 14,1 \approx 14$, $m_0 = 7,07 \approx 7$. Таким образом, наибольшее значение силы тока достигается, если использовать только 98 из 100 элементов.
Решение. №117 (с. 205)
Дано:
$N = 100$
$r = 1 \text{ Ом}$
$R = 2 \text{ Ом}$
Найти:
$m - ?$
$n - ?$
Решение:
Пусть ЭДС каждого элемента равна $\mathcal{E}$. Батарея состоит из $m$ параллельно соединенных ветвей, в каждой из которых по $n$ последовательно соединенных элементов.
ЭДС каждой ветви равна сумме ЭДС элементов в ней: $E_{ветви} = n\mathcal{E}$.
Внутреннее сопротивление каждой ветви равно сумме внутренних сопротивлений элементов: $r_{ветви} = nr$.
При параллельном соединении $m$ одинаковых ветвей общая ЭДС батареи равна ЭДС одной ветви:
$E_{бат} = E_{ветви} = n\mathcal{E}$
Общее внутреннее сопротивление батареи $r_{бат}$ находится из соотношения для параллельно соединенных сопротивлений:
$\frac{1}{r_{бат}} = \sum_{i=1}^{m} \frac{1}{r_{ветви}} = \frac{m}{r_{ветви}} = \frac{m}{nr}$
Отсюда $r_{бат} = \frac{nr}{m}$.
Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока через резистор $R$ равна:
$I = \frac{E_{бат}}{R + r_{бат}} = \frac{n\mathcal{E}}{R + \frac{nr}{m}}$
Общее число элементов $N$ связано с $m$ и $n$ соотношением $N = mn$. Отсюда можно выразить $m = \frac{N}{n}$. Подставим это в формулу для тока:
$I(n) = \frac{n\mathcal{E}}{R + \frac{nr}{N/n}} = \frac{n\mathcal{E}}{R + \frac{n^2r}{N}} = \frac{Nn\mathcal{E}}{NR + n^2r}$
Чтобы найти значение $n$, при котором сила тока $I$ максимальна, нужно найти максимум функции $I(n)$. Это эквивалентно поиску минимума обратной величины (пренебрегая постоянным множителем $1/(N\mathcal{E})$):
$f(n) = \frac{1}{I(n)} \propto \frac{NR + n^2r}{n} = \frac{NR}{n} + nr$
Возьмем производную функции $f(n)$ по $n$ и приравняем ее к нулю, чтобы найти точку экстремума:
$f'(n) = (\frac{NR}{n} + nr)' = -\frac{NR}{n^2} + r = 0$
$r = \frac{NR}{n^2} \implies n^2 = \frac{NR}{r}$
$n = \sqrt{\frac{NR}{r}}$
Это условие максимума тока. Оно соответствует равенству внутреннего сопротивления батареи и внешнего сопротивления нагрузки: $r_{бат} = R$.
Подставим числовые значения для нахождения оптимальных (не обязательно целочисленных) $n_0$ и $m_0$:
$n_0 = \sqrt{\frac{100 \cdot 2}{1}} = \sqrt{200} \approx 14,14$
Аналогично можно найти оптимальное значение для $m_0$:
$m_0 = \sqrt{\frac{Nr}{R}} = \sqrt{\frac{100 \cdot 1}{2}} = \sqrt{50} \approx 7,07$
Поскольку числа $m$ и $n$ должны быть целыми, а их произведение не должно превышать 100 ($mn \le 100$), необходимо проверить целочисленные значения, близкие к найденным оптимальным $m_0$ и $n_0$.
Проверим комбинации, ближайшие к $(m_0, n_0) \approx (7,07, 14,14)$:
1. Пусть $m = 7$. Тогда $n \le \frac{100}{7} \approx 14,28$. Ближайшее целое $n=14$.
Для пары $(m=7, n=14)$ общее число элементов $mn = 7 \cdot 14 = 98 \le 100$.
Сила тока (в единицах $\mathcal{E}$): $I_1 = \frac{14}{R + \frac{14r}{7}} = \frac{14}{2 + \frac{14 \cdot 1}{7}} = \frac{14}{2+2} = \frac{14}{4} = 3,5\mathcal{E}$.
2. Пусть $m = 8$. Тогда $n \le \frac{100}{8} = 12,5$. Ближайшее целое $n=12$.
Для пары $(m=8, n=12)$ общее число элементов $mn = 8 \cdot 12 = 96 \le 100$.
Сила тока: $I_2 = \frac{12}{R + \frac{12r}{8}} = \frac{12}{2 + \frac{12 \cdot 1}{8}} = \frac{12}{2+1,5} = \frac{12}{3,5} \approx 3,43\mathcal{E}$.
Сравнивая полученные значения тока, видим, что $I_1 > I_2$. Следовательно, наибольшая сила тока достигается при $m=7$ и $n=14$.
Ответ: Наибольшая сила тока будет при $m = 7$ параллельных ветвях и $n = 14$ последовательных элементах в каждой ветви.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по физике за 10-11 класс, для упражнения номер 117 расположенного на странице 205 к задачнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по физике к упражнению №117 (с. 205), авторов: Гельфгат (Илья Маркович), Генденштейн (Лев Элевич), Кирик (Леонид Анатольевич), профильный уровень обучения учебного пособия издательства Илекса.