Номер 115, страница 203 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 28. Электродвижущая сила. Закон Ома для полной цепи. Постоянный электрический ток. Электродинамика - номер 115, страница 203.

Условие.

O15. Два источника ЭДС соединены, как показано на рисунке. Найдите разность потенциалов между точками А и В. Какой станет разность потенциалов, если изменить полярность включения второго источника?

☑ $\frac{\mathcal{E}_1 r_2 + \mathcal{E}_2 r_1}{r_1+r_2}$, $\frac{\mathcal{E}_1 r_2 - \mathcal{E}_2 r_1}{r_1+r_2}$

Решение. Ток в цепи идет против часовой стрелки. Сила тока $I = \frac{\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2}{r_1+r_2}$. Искомая разность потенциалов между точками А и В: $\mathcal{E}_1 - I r_1 = \frac{\mathcal{E}_1 r_2 - \mathcal{E}_2 r_1}{r_1+r_2}$; обратим внимание, что она равна нулю при $\mathcal{E}_1/r_1 = \mathcal{E}_2/r_2$, т. е. когда у обоих источников одинаковы токи короткого замыкания. Если изменить полярность второго источника, в выражении для разности потенциалов знак перед $\mathcal{E}_2$ тоже изменится, и в результате получим $\frac{\mathcal{E}_1 r_2 + \mathcal{E}_2 r_1}{r_1+r_2}$. Если $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}_2$, искомая разность потенциалов равна ЭДС любого из источников.

Решение.

Дано:

ЭДС первого источника: $E_1$

Внутреннее сопротивление первого источника: $r_1$

ЭДС второго источника: $E_2$

Внутреннее сопротивление второго источника: $r_2$

Примечание: Хотя на схеме источники изображены со встречным включением, решение в задачнике предполагает, что они включены согласно. Будем следовать этому предположению для получения ответа, приведенного в задачнике.

Найти:

1. Разность потенциалов $U_{AB} = \phi_A - \phi_B$ в исходной (согласной) схеме.

2. Разность потенциалов $U'_{AB} = \phi_A - \phi_B$ при изменении полярности второго источника (встречное включение).

Решение:

1. Найдите разность потенциалов между точками А и В.

При согласном включении источников их ЭДС складываются. Цепь представляет собой один замкнутый контур. Ток в контуре будет течь против часовой стрелки.

Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока $I$ равна отношению суммарной ЭДС к суммарному сопротивлению:

$I = \frac{E_1 + E_2}{r_1 + r_2}$

Разность потенциалов между точками А и В ($U_{AB} = \phi_A - \phi_B$) найдем, рассмотрев путь от точки B до точки A через верхнюю ветвь цепи. Двигаясь от B к A, мы проходим источник $E_1$ от отрицательного полюса к положительному (потенциал увеличивается на $E_1$) и сопротивление $r_1$ по направлению тока (потенциал уменьшается на $I r_1$).

Таким образом, потенциал в точке A выражается через потенциал в точке B как:

$\phi_A = \phi_B + E_1 - I \cdot r_1$

Отсюда искомая разность потенциалов:

$U_{AB} = \phi_A - \phi_B = E_1 - I \cdot r_1$

Подставим в это выражение найденную силу тока $I$:

$U_{AB} = E_1 - \left(\frac{E_1 + E_2}{r_1 + r_2}\right) r_1$

Приведем к общему знаменателю и упростим:

$U_{AB} = \frac{E_1(r_1 + r_2) - (E_1 + E_2)r_1}{r_1 + r_2} = \frac{E_1 r_1 + E_1 r_2 - E_1 r_1 - E_2 r_1}{r_1 + r_2} = \frac{E_1 r_2 - E_2 r_1}{r_1 + r_2}$

Ответ: Разность потенциалов между точками А и В равна $\frac{E_1 r_2 - E_2 r_1}{r_1 + r_2}$.

2. Какой станет разность потенциалов, если изменить полярность включения второго источника?

Если изменить полярность второго источника $E_2$, то источники окажутся включенными встречно. Их суммарная ЭДС будет равна разности $|E_1 - E_2|$. Предположим для определенности, что $E_1 > E_2$, тогда ток $I'$ будет течь по часовой стрелке.

Сила тока в новой цепи:

$I' = \frac{E_1 - E_2}{r_1 + r_2}$

Снова найдем разность потенциалов $U'_{AB} = \phi_A - \phi_B$, двигаясь от B к A через верхнюю ветвь. В этот раз мы движемся против направления тока $I'$.

При движении от B к A мы проходим источник $E_1$ от отрицательного полюса к положительному (потенциал увеличивается на $E_1$) и сопротивление $r_1$ против направления тока (потенциал также увеличивается на $I' r_1$).

$\phi_A = \phi_B + E_1 + I' \cdot r_1$

Новая разность потенциалов:

$U'_{AB} = \phi_A - \phi_B = E_1 + I' \cdot r_1$

Подставим выражение для силы тока $I'$:

$U'_{AB} = E_1 + \left(\frac{E_1 - E_2}{r_1 + r_2}\right) r_1$

Приведем к общему знаменателю и упростим:

$U'_{AB} = \frac{E_1(r_1 + r_2) + (E_1 - E_2)r_1}{r_1 + r_2} = \frac{E_1 r_1 + E_1 r_2 + E_1 r_1 - E_2 r_1}{r_1 + r_2} = \frac{E_1 r_2 + E_2 r_1}{r_1 + r_2}$

(Примечание: результат не изменится, если предположить, что $E_2 > E_1$. В этом случае ток потечет в обратную сторону, и знаки в расчете изменятся соответствующим образом, приведя к тому же конечному ответу).

Ответ: Разность потенциалов станет равной $\frac{E_1 r_2 + E_2 r_1}{r_1 + r_2}$.