Номер 29.3, страница 207 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Постоянный электрический ток. 29. Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца. Упражнения - номер 29.3, страница 207.

Условие.

29.3. На одной лампочке написано «220 В, 60 Вт»; на другой — «220 В, 40 Вт». Лампочки соединяют последовательно и включают в сеть с напряжением 220 В. Найдите полную потребляемую мощность, а также мощность каждой из лампочек при таком включении. Зависимость сопротивления ламп от температуры не учитывайте.

☑ Полная мощность 24 Вт; первая лампочка потребляет 9,6 Вт, а вторая 14,4 Вт.

Решение. Из соотношения $P = U^2/R$ следует, что даже полная потребляемая мощность будет меньше 40 Вт (увеличение сопротивления нагрузки при $U = \text{const}$ приводит к уменьшению мощности). Лампочка, рассчитанная на большую мощность (60 Вт), имеет меньшее сопротивление и, поскольку $P = I^2R$, будет гореть менее ярко, чем «40-ваттная» (ведь сила тока при последовательном соединении одинакова для обеих лампочек). Считая, что сопротивление каждой лампочки не зависит от накала*, получаем: $R_1 = U^2/P_1, R_2 = U^2/P_2$. При последовательном включении $I = \frac{U}{R_1 + R_2} = \frac{P_1 P_2}{U(P_1 + P_2)}$ мощности лампочек $P'_1 = \frac{P_1^2 P_2}{(P_1 + P_2)^2} = 9,6 \text{ Вт}, P'_2 = \frac{P_1 P_2^2}{(P_1 + P_2)^2} = 14,4 \text{ (Вт)}.$ При этом полная потребляемая мощность $P = P'_1 + P'_2 = \frac{P_1 P_2}{P_1 + P_2} = 24 \text{ (Вт)}.$

Решение.

Дано:

Номинальные параметры первой лампочки: $U_{ном1} = 220 \text{ В}$, $P_{ном1} = 60 \text{ Вт}$.

Номинальные параметры второй лампочки: $U_{ном2} = 220 \text{ В}$, $P_{ном2} = 40 \text{ Вт}$.

Напряжение сети: $U = 220 \text{ В}$.

Тип соединения: последовательное.

Зависимостью сопротивления ламп от температуры пренебречь.

Найти:

Полную потребляемую мощность $P_{общ}$, мощность первой лампочки $P'_{1}$, мощность второй лампочки $P'_{2}$.

Решение:

1. Сначала найдем сопротивление каждой лампочки, исходя из ее номинальных (паспортных) характеристик. Мощность, напряжение и сопротивление связаны формулой $P = \frac{U^2}{R}$, откуда сопротивление $R = \frac{U_{ном}^2}{P_{ном}}$.

Сопротивление первой лампочки:

$R_1 = \frac{U_{ном1}^2}{P_{ном1}} = \frac{(220 \text{ В})^2}{60 \text{ Вт}} = \frac{48400}{60} \text{ Ом} \approx 806,7 \text{ Ом}$.

Сопротивление второй лампочки:

$R_2 = \frac{U_{ном2}^2}{P_{ном2}} = \frac{(220 \text{ В})^2}{40 \text{ Вт}} = \frac{48400}{40} \text{ Ом} = 1210 \text{ Ом}$.

Лампочка, рассчитанная на меньшую мощность (40 Вт), имеет большее сопротивление.

2. При последовательном соединении общее сопротивление цепи равно сумме сопротивлений ее элементов:

$R_{общ} = R_1 + R_2 = \frac{48400}{60} \text{ Ом} + \frac{48400}{40} \text{ Ом} = 48400 \cdot (\frac{1}{60} + \frac{1}{40}) \text{ Ом} = 48400 \cdot \frac{2+3}{120} \text{ Ом} = 48400 \cdot \frac{5}{120} \text{ Ом} = \frac{48400}{24} \text{ Ом} \approx 2016,7 \text{ Ом}$.

3. Сила тока в цепи при последовательном соединении одинакова для всех элементов и находится по закону Ома:

$I = \frac{U}{R_{общ}} = \frac{220 \text{ В}}{\frac{48400}{24} \text{ Ом}} = \frac{220 \cdot 24}{48400} \text{ А} = \frac{24}{220} \text{ А} = \frac{6}{55} \text{ А} \approx 0,109 \text{ А}$.

4. Теперь можем найти фактическую мощность, потребляемую каждой лампочкой в данной цепи, по формуле $P' = I^2 R$.

Мощность первой лампочки (номинальная 60 Вт):

$P'_{1} = I^2 R_1 = (\frac{6}{55} \text{ А})^2 \cdot (\frac{48400}{60} \text{ Ом}) = \frac{36}{3025} \cdot \frac{48400}{60} \text{ Вт} = \frac{36 \cdot 16}{60} \text{ Вт} = 9,6 \text{ Вт}$.

Мощность второй лампочки (номинальная 40 Вт):

$P'_{2} = I^2 R_2 = (\frac{6}{55} \text{ А})^2 \cdot 1210 \text{ Ом} = \frac{36}{3025} \cdot 1210 \text{ Вт} = 36 \cdot 0,4 \text{ Вт} = 14,4 \text{ Вт}$.

Таким образом, при последовательном соединении лампочка с меньшей номинальной мощностью (40 Вт) будет гореть ярче, так как ее сопротивление больше, и на ней выделяется большая мощность.

Полная потребляемая мощность:

Полная мощность, потребляемая цепью, равна сумме мощностей на каждом из элементов:

$P_{общ} = P'_{1} + P'_{2} = 9,6 \text{ Вт} + 14,4 \text{ Вт} = 24 \text{ Вт}$.

Проверить результат можно по формуле $P_{общ} = \frac{P_{ном1}P_{ном2}}{P_{ном1}+P_{ном2}}$ (справедливо для последовательного соединения приборов, рассчитанных на одно и то же напряжение):

$P_{общ} = \frac{60 \cdot 40}{60+40} \text{ Вт} = \frac{2400}{100} \text{ Вт} = 24 \text{ Вт}$.

Ответ: Полная потребляемая мощность составляет 24 Вт; мощность первой лампочки (номиналом 60 Вт) равна 9,6 Вт, а мощность второй лампочки (номиналом 40 Вт) равна 14,4 Вт.