Номер 116, страница 204 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 28. Электродвижущая сила. Закон Ома для полной цепи. Постоянный электрический ток. Электродинамика - номер 116, страница 204.

Условие.

О16. В цепи, показанной на рисунке, ЭДС каждого элемента $\mathcal{E}$, внутреннее сопротивление $\text{r}$. Какова разность потенциалов между точками $A_1$ и $A_2$? Между точками $A_1$ и $A_k$? Сопротивлением соединительных проводов можно пренебречь.

☑ Потенциалы всех указанных точек совпадают.

Решение 1. Цепь обладает симметрией по отношению к поворотам: после поворота, например, на одно звено по часовой стрелке цепь в целом не изменяется, однако точка $A_1$ занимает место точки $A_2$. Поскольку при повороте всей цепи потенциалы точек не изменяются, $\varphi_{A_1} = \varphi_{A_2}$. Этот вывод легко обобщить: $\varphi_{A_1} = \varphi_{A_k}$ при всех $\text{k}$.

Решение 2. Согласно закону Ома для замкнутой цепи сила тока $I = \frac{N\mathcal{E}}{Nr} = \frac{\mathcal{E}}{r}$, т. е. каждый элемент «работает» в режиме короткого замыкания. Поэтому разность потенциалов на любом элементе (или группе элементов) равна нулю. Используя аналогичные соображения, можно доказать, что такой же результат получится и для различных элементов, если у них одинаковы токи короткого замыкания.

Решение.

Дано:

Количество элементов: $N$

ЭДС одного элемента: $ε$

Внутреннее сопротивление одного элемента: $r$

Найти:

Разность потенциалов между точками A₁ и A₂: $φ_{A_2} - φ_{A_1}$

Разность потенциалов между точками A₁ и Aₖ: $φ_{A_k} - φ_{A_1}$

Решение:

Рассмотрим замкнутую цепь, состоящую из $N$ одинаковых элементов, соединенных последовательно. Так как все элементы одинаковы и их ЭДС направлены в одну сторону (например, по часовой стрелке), то общая ЭДС цепи $ε_{общ}$ будет равна сумме ЭДС всех элементов:
$ε_{общ} = Nε$

Аналогично, общее внутреннее сопротивление цепи $R_{общ}$ будет равно сумме внутренних сопротивлений всех элементов:
$R_{общ} = Nr$

По закону Ома для полной цепи, сила тока $I$, протекающего в цепи, равна:
$I = \frac{ε_{общ}}{R_{общ}} = \frac{Nε}{Nr} = \frac{ε}{r}$

Эта сила тока одинакова на всех участках цепи.

Какова разность потенциалов между точками A₁ и A₂?

Разность потенциалов между точками A₁ и A₂ — это напряжение на зажимах первого элемента. Пусть ток течет от точки A₁ к A₂. Тогда разность потенциалов $φ_{A_2} - φ_{A_1}$ можно найти по формуле для участка цепи с ЭДС:
$φ_{A_2} - φ_{A_1} = ε - I \cdot r$

Подставим в эту формулу найденное значение силы тока $I$:
$φ_{A_2} - φ_{A_1} = ε - \frac{ε}{r} \cdot r = ε - ε = 0$

Ответ: Разность потенциалов между точками A₁ и A₂ равна 0.

Между точками A₁ и Aₖ?

Для нахождения разности потенциалов между точками A₁ и Aₖ можно просуммировать разности потенциалов на всех элементах между этими точками.
$φ_{A_k} - φ_{A_1} = (φ_{A_2} - φ_{A_1}) + (φ_{A_3} - φ_{A_2}) + \dots + (φ_{A_k} - φ_{A_{k-1}})$

Как мы уже выяснили, разность потенциалов на каждом отдельном элементе равна нулю:
$φ_{A_{i+1}} - φ_{A_i} = 0$ для любого $i$.

Следовательно, искомая разность потенциалов также будет равна нулю:
$φ_{A_k} - φ_{A_1} = \sum_{i=1}^{k-1} (φ_{A_{i+1}} - φ_{A_i}) = \sum_{i=1}^{k-1} 0 = 0$

Этот же результат следует из соображений симметрии. Цепь является полностью симметричной относительно поворота на угол, соответствующий одному звену. При таком повороте цепь не изменяется, а точки A₁, A₂, ... переходят друг в друга. Это означает, что распределение потенциала в цепи также должно быть симметричным, то есть потенциалы во всех точках A₁, A₂, ..., Aₖ должны быть одинаковыми. Поэтому разность потенциалов между любыми двумя из этих точек равна нулю.

Ответ: Разность потенциалов между точками A₁ и Aₖ равна 0.