Номер 29.2, страница 207 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 29. Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца. Постоянный электрический ток. Электродинамика - номер 29.2, страница 207.

Условие.

29.2. К источнику подключаются поочередно резисторы с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$. В обоих случаях на резисторах выделяется одинаковая мощность. Найдите внутреннее сопротивление $\text{r}$ источника.

☑ $r = \sqrt{R_1R_2}$.

Решение. Резистор с сопротивлением $\text{R}$ потребляет от источника мощность $P = I^2R = \frac{R\mathcal{E}^2}{(R+r)^2}$. Согласно условию $P_1 = P_2$, откуда $r = \sqrt{R_1R_2}$.

Решение.

Дано:

Сопротивление первого резистора: $R_1$
Сопротивление второго резистора: $R_2$
Мощность, выделяемая на первом резисторе: $P_1$
Мощность, выделяемая на втором резисторе: $P_2$
По условию: $P_1 = P_2$

Найти:

Внутреннее сопротивление источника: $r$

Решение:

Мощность, которая выделяется во внешней цепи (на резисторе), может быть найдена по формуле $P = I^2 R$, где $I$ — сила тока в цепи, а $R$ — сопротивление резистора.

Силу тока для полной цепи, состоящей из источника с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$, а также внешнего резистора $R$, определяет закон Ома для полной цепи:$I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$

Подставим выражение для силы тока в формулу мощности:$P = \left(\frac{\mathcal{E}}{R+r}\right)^2 R = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2}$

Теперь запишем выражения для мощности для каждого из двух случаев, описанных в задаче.

1. При подключении резистора с сопротивлением $R_1$:$P_1 = \frac{\mathcal{E}^2 R_1}{(R_1+r)^2}$

2. При подключении резистора с сопротивлением $R_2$:$P_2 = \frac{\mathcal{E}^2 R_2}{(R_2+r)^2}$

Согласно условию задачи, выделяемая мощность в обоих случаях одинакова, то есть $P_1 = P_2$. Приравняем полученные выражения:$\frac{\mathcal{E}^2 R_1}{(R_1+r)^2} = \frac{\mathcal{E}^2 R_2}{(R_2+r)^2}$

ЭДС источника $\mathcal{E}$ не равна нулю, поэтому мы можем сократить $\mathcal{E}^2$ в обеих частях уравнения:$\frac{R_1}{(R_1+r)^2} = \frac{R_2}{(R_2+r)^2}$

Преобразуем это уравнение, чтобы выразить $r$:$R_1(R_2+r)^2 = R_2(R_1+r)^2$

Раскроем скобки:$R_1(R_2^2 + 2R_2 r + r^2) = R_2(R_1^2 + 2R_1 r + r^2)$
$R_1 R_2^2 + 2R_1 R_2 r + R_1 r^2 = R_2 R_1^2 + 2R_2 R_1 r + R_2 r^2$

Член $2R_1 R_2 r$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому он сокращается:$R_1 R_2^2 + R_1 r^2 = R_2 R_1^2 + R_2 r^2$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $r^2$, в левой части, а остальные — в правой:$R_1 r^2 - R_2 r^2 = R_2 R_1^2 - R_1 R_2^2$

Вынесем общие множители за скобки:$r^2(R_1 - R_2) = R_1 R_2 (R_1 - R_2)$

Так как по смыслу задачи сопротивления $R_1$ и $R_2$ различны ($R_1 \neq R_2$), мы можем разделить обе части уравнения на $(R_1 - R_2)$:$r^2 = R_1 R_2$

Извлекая квадратный корень и учитывая, что сопротивление не может быть отрицательной величиной, получаем итоговое выражение для внутреннего сопротивления источника:$r = \sqrt{R_1 R_2}$

Ответ: $r = \sqrt{R_1 R_2}$.