Номер 29.9, страница 210 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 29. Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца. Постоянный электрический ток. Электродинамика - номер 29.9, страница 210.

Условие.

29.9. Источник тока с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $\text{r}$ замкнут на реостат. Как зависят от сопротивления реостата $\text{R}$ следующие величины: сила тока $\text{I}$, напряжение $\text{U}$, мощность $\text{P}$ во внешней цепи, полная мощность $P_0$ и КПД цепи $\eta$? Постройте соответствующие графики. При каком $\text{R}$ достигается максимальная мощность во внешней цепи? Каков при этом КПД цепи?

Решение. Согласно закону Ома для замкнутой цепи $I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}$. График этой зависимости (гипербола) приведен на рис. а. Напряжение $U = IR = \frac{\mathcal{E}R}{R + r}$. График (тоже гипербола) приведен на рис. б.

Мощность во внешней цепи $P = I^2R = \frac{\mathcal{E}^2R}{(R + r)^2}$; полная мощность $P_0 = I^2(R + r) = \frac{\mathcal{E}^2}{R + r}$ (см. рис. в). КПД цепи $\eta = P/P_0 = \frac{R}{R + r}$ (см. рис. г).

Чтобы исследовать на максимум функцию $P(R)$, воспользуемся неравенством $R + r \ge 2\sqrt{Rr}$, в котором равенство достигается только при $R = r$. Следовательно, $P(R)$ достигает максимального значения при $R = r$ (такую нагрузку называют согласованной). При этом КПД цепи составляет всего 50 %.

Puc. a

Puc. б

Puc. в

Puc. г

Решение.

Дано:

Источник тока с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$.

Внешнее сопротивление (реостат) $R$.

Найти:

1. Зависимости $I(R)$, $U(R)$, $P(R)$, $P_0(R)$, $\eta(R)$ и построить их графики.

2. Значение $R$, при котором мощность $P$ максимальна.

3. Значение КПД $\eta$ при максимальной мощности $P$.

Решение:

Для анализа зависимостей используем закон Ома для полной цепи, а также формулы для расчета мощности и КПД.

Зависимость силы тока I от сопротивления R

Согласно закону Ома для замкнутой цепи, сила тока $I$ определяется как отношение ЭДС источника $\mathcal{E}$ к полному сопротивлению цепи, которое является суммой внешнего сопротивления $R$ и внутреннего сопротивления $r$:

$I(R) = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$

Эта зависимость является гиперболической. При $R=0$ (короткое замыкание) сила тока достигает максимального значения, называемого током короткого замыкания: $I_{кз} = \mathcal{E}/r$. При увеличении внешнего сопротивления до бесконечности ($R \to \infty$) сила тока асимптотически стремится к нулю. График этой зависимости представляет собой ветвь гиперболы.

Ответ: Сила тока $I$ обратно пропорциональна полному сопротивлению цепи $(R+r)$. Зависимость $I(R) = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$ графически является гиперболой, убывающей от $I_{кз} = \mathcal{E}/r$ до 0.

Зависимость напряжения U на внешней цепи от сопротивления R

Напряжение на внешней цепи (на реостате) можно найти по закону Ома для участка цепи: $U = I \cdot R$. Подставив в эту формулу выражение для силы тока $I$, получим:

$U(R) = \frac{\mathcal{E}}{R+r} \cdot R = \frac{\mathcal{E}R}{R+r}$

Проанализируем эту функцию. При $R=0$ напряжение $U=0$. При увеличении $R$ до бесконечности ($R \to \infty$) напряжение асимптотически приближается к значению ЭДС. Чтобы это увидеть, можно разделить числитель и знаменатель на $R$: $U = \frac{\mathcal{E}}{1 + r/R}$. При $R \to \infty$, дробь $r/R \to 0$, и $U \to \mathcal{E}$.

Ответ: Напряжение $U$ на внешней цепи возрастает с увеличением $R$ от 0 (при $R=0$) и асимптотически стремится к значению ЭДС $\mathcal{E}$ (при $R \to \infty$).

Зависимость мощности P во внешней цепи от сопротивления R

Мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении $R$ (полезная мощность), определяется по формуле $P = I^2 R$. Подставляя выражение для $I$, получаем:

$P(R) = \left(\frac{\mathcal{E}}{R+r}\right)^2 R = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2}$

При $R=0$, мощность $P=0$. При $R \to \infty$, мощность также стремится к нулю, так как знаменатель растет быстрее числителя (как $R^2$ против $R$). Это означает, что функция $P(R)$ имеет максимум при некотором конечном значении $R$.

Ответ: Мощность во внешней цепи $P$ сначала растет с увеличением $R$ от нуля, достигает максимального значения, а затем убывает, асимптотически стремясь к нулю.

Зависимость полной мощности P₀ от сопротивления R

Полная мощность, развиваемая источником, выделяется на полном сопротивлении цепи $(R+r)$.

$P_0(R) = I^2(R+r) = \frac{\mathcal{E}^2}{(R+r)^2}(R+r) = \frac{\mathcal{E}^2}{R+r}$

Эта зависимость, как и для силы тока, является гиперболической. При $R=0$, полная мощность максимальна и равна $P_{0,max} = \mathcal{E}^2/r$. С ростом $R$ полная мощность монотонно убывает, стремясь к нулю при $R \to \infty$.

Ответ: Полная мощность $P_0$, развиваемая источником, монотонно убывает с ростом $R$ по гиперболическому закону $P_0(R) = \frac{\mathcal{E}^2}{R+r}$.

Зависимость КПД цепи η от сопротивления R

Коэффициент полезного действия (КПД) цепи определяется как отношение полезной мощности $P$ к полной (затраченной) мощности $P_0$.

$\eta(R) = \frac{P}{P_0} = \frac{I^2 R}{I^2 (R+r)} = \frac{R}{R+r}$

При $R=0$, КПД $\eta=0$. При увеличении $R \to \infty$, КПД асимптотически приближается к 1 (или 100%). Это видно, если разделить числитель и знаменатель на $R$: $\eta = \frac{1}{1 + r/R}$. При $R \to \infty$, дробь $r/R \to 0$ и $\eta \to 1$.

Ответ: КПД цепи $\eta$ монотонно возрастает с увеличением $R$ от 0 до 1.

При каком R достигается максимальная мощность во внешней цепи?

Для нахождения значения $R$, при котором мощность $P$ максимальна, необходимо исследовать функцию $P(R) = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2}$ на экстремум. Для этого найдем ее производную по $R$ и приравняем ее к нулю.

$\frac{dP}{dR} = \mathcal{E}^2 \frac{d}{dR} \left( \frac{R}{(R+r)^2} \right) = \mathcal{E}^2 \frac{1 \cdot (R+r)^2 - R \cdot 2(R+r)}{(R+r)^4} = \mathcal{E}^2 \frac{(R+r) - 2R}{(R+r)^3} = \mathcal{E}^2 \frac{r-R}{(R+r)^3}$

Приравнивая производную к нулю, получаем условие максимума: $r-R=0$, откуда следует, что $R=r$.

Ответ: Максимальная мощность во внешней цепи достигается при условии, что внешнее сопротивление равно внутреннему сопротивлению источника: $R=r$.

Каков при этом КПД цепи?

Найдем значение КПД $\eta$ при условии достижения максимальной мощности, то есть при $R=r$. Подставим это значение в формулу для КПД:

$\eta = \frac{R}{R+r} = \frac{r}{r+r} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$

В процентах это составляет 50%.

Ответ: При выделении максимальной мощности во внешней цепи КПД составляет 50%.