Номер 120, страница 212 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 29. Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца. Постоянный электрический ток. Электродинамика - номер 120, страница 212.

Условие.

O20. Три тонкие проволоки одинакового диаметра — железная, медная и алюминиевая — соединены последовательно. Их подключают к источнику высокого напряжения, и одна из проволок перегорает. Какая? Начальная температура $t_0 = 0 \text{ °C}$. Зависимость сопротивления от температуры не учитывайте.

☑ Алюминиевая проволока.

Решение. Вопрос сводится к тому, какая из проволок при быстром нагревании (без потерь тепла) раньше нагреется до «своей» температуры плавления. Необходимое для этого время $\tau = \left(\frac{\pi D^2}{4I}\right)^2 \cdot \frac{dc(t_{\text{пл}}-t_0)}{\rho}$. Перегорит алюминиевая проволока, у которой значение величины $\frac{dc(t_{\text{пл}}-t_0)}{\rho}$ наименьшее. Заметим, что при перегорании плавится очень короткий отрезок проволоки, поэтому учитывать расход тепла на плавление не следует.

Решение.

Решение

Для определения того, какая из проволок перегорит первой, необходимо выяснить, какая из них быстрее достигнет своей температуры плавления при прохождении электрического тока. Проволока перегорает (плавится) в тот момент, когда количество теплоты, выделившееся в ней за счет тока, становится достаточным для ее нагрева от начальной температуры до температуры плавления.

Количество теплоты $Q$, которое выделяется в проводнике согласно закону Джоуля-Ленца, равно:

$Q = I^2 R \tau$

где $I$ – сила тока, $R$ – сопротивление проволоки, $\tau$ – время прохождения тока.

Это количество теплоты идет на нагрев проволоки:

$Q = c m (t_{пл} - t_0)$

где $c$ – удельная теплоемкость материала, $m$ – масса проволоки, $t_{пл}$ – температура плавления, а $t_0$ – начальная температура ($0 \,^\circ\mathrm{C}$ по условию).

Приравнивая оба выражения для $Q$, получаем:

$I^2 R \tau = c m (t_{пл} - t_0)$

Сопротивление $R$ и массу $m$ можно выразить через свойства материала и размеры проволоки. Пусть длина проволоки – $L$, а площадь поперечного сечения – $S$. Тогда:

$R = \rho \frac{L}{S}$ (где $\rho$ – удельное сопротивление)

$m = d V = d L S$ (где $d$ – плотность)

Подставляем эти выражения в уравнение:

$I^2 \left( \rho \frac{L}{S} \right) \tau = c (d L S) (t_{пл} - t_0)$

Выразим время $\tau$, за которое проволока нагреется до температуры плавления:

$\tau = \frac{c d S^2 (t_{пл} - t_0)}{I^2 \rho}$

По условию, все три проволоки (железная, медная и алюминиевая) соединены последовательно, следовательно, сила тока $I$ в них одинакова. Также они имеют одинаковый диаметр, а значит, и одинаковую площадь поперечного сечения $S$. Поэтому время, необходимое для перегорания каждой проволоки, будет определяться только свойствами ее материала. Проволока, для которой величина $K = \frac{c d (t_{пл} - t_0)}{\rho}$ будет наименьшей, перегорит первой.

Вычислим значение этого критерия для каждого металла, используя справочные физические константы.

1. Железо (Fe)

Удельное сопротивление $\rho_{Fe} \approx 9.71 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot m$

Плотность $d_{Fe} \approx 7870 \, kg/m^3$

Удельная теплоемкость $c_{Fe} \approx 444 \, J/(kg \cdot K)$

Температура плавления $t_{пл, Fe} \approx 1535 \, ^\circ\mathrm{C}$

$K_{Fe} = \frac{444 \cdot 7870 \cdot (1535 - 0)}{9.71 \times 10^{-8}} \approx 5.52 \times 10^{16} \, \frac{J}{\Omega \cdot m^4}$

2. Медь (Cu)

Удельное сопротивление $\rho_{Cu} \approx 1.68 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot m$

Плотность $d_{Cu} \approx 8920 \, kg/m^3$

Удельная теплоемкость $c_{Cu} \approx 385 \, J/(kg \cdot K)$

Температура плавления $t_{пл, Cu} \approx 1083 \, ^\circ\mathrm{C}$

$K_{Cu} = \frac{385 \cdot 8920 \cdot (1083 - 0)}{1.68 \times 10^{-8}} \approx 2.21 \times 10^{17} \, \frac{J}{\Omega \cdot m^4}$

3. Алюминий (Al)

Удельное сопротивление $\rho_{Al} \approx 2.65 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot m$

Плотность $d_{Al} \approx 2700 \, kg/m^3$

Удельная теплоемкость $c_{Al} \approx 904 \, J/(kg \cdot K)$

Температура плавления $t_{пл, Al} \approx 660 \, ^\circ\mathrm{C}$

$K_{Al} = \frac{904 \cdot 2700 \cdot (660 - 0)}{2.65 \times 10^{-8}} \approx 6.07 \times 10^{16} \, \frac{J}{\Omega \cdot m^4}$

Сравнивая полученные значения, мы видим, что наименьшее значение критерия $K$ у железной проволоки: $K_{Fe} < K_{Al} < K_{Cu}$. Следовательно, железная проволока нагреется до своей температуры плавления быстрее других и перегорит первой.

Примечание: в некоторых задачниках в качестве ответа к этой задаче указывается алюминиевая проволока. Такое возможно, если использовать другие справочные значения для физических констант, поскольку вычисленные критерии для железа и алюминия близки по значению. Расчет, приведенный выше, основан на общепринятых справочных данных.

Ответ:

Первой перегорит железная проволока.