Номер 121, страница 212 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 29. Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца. Постоянный электрический ток. Электродинамика - номер 121, страница 212.

Условие.

O21. Оцените время $\tau$ разрядки конденсатора (см. рисунок) после замыкания ключа. Как выглядит график зависимости от времени напряжения $U$ на конденсаторе?

☑ $\tau \sim RC$; см. рисунок.

Решение. По мере уменьшения напряжения на конденсаторе $U$ уменьшается и сила тока $i$, т. е. разрядка идет все медленнее. Под временем разрядки понимают время заметного изменения напряжения (скажем, вдвое). Оценить это время можно, например, методом размерностей: $\tau$ может зависеть лишь от $R, C$ и, возможно, от начального напряжения $U_0$ на конденсаторе.

Единицы измерения этих величин соответственно: $1\ \text{Ом}, 1\ \text{Ф} = 1\ \text{Кл}/\text{В} = 1\ \text{с}/\text{Ом}$ и $1\ \text{В}$.

Из этих величин можно построить величину с размерностью времени единственным способом — умножить $R$ на $C$. Следовательно, $\tau \sim RC$. Как видим, время разрядки не зависит от начального напряжения. Можно получить тот же результат и иначе: выделившееся за время $\tau$ количество теплоты $i^2Rt$ должно быть сравнимо с начальной энергией заряженного конденсатора $CU_0^2/2$. Считая $i \sim U_0/R$, получаем тот же результат: $\tau \sim RC$.

Точный закон убывания напряжения на конденсаторе имеет вид $U = U_0 e^{-t/(RC)}$. За время $t = RC$ напряжение убывает в $e \approx 2,7$ раз; за время $5t$ — в $150$ раз; за $10t$ — в $22\ 000$ раз.

Решение.

Дано:

Электрическая цепь, состоящая из конденсатора емкостью $C$, заряженного до начального напряжения $U_0$, и резистора сопротивлением $R$. В момент времени $t=0$ ключ замыкается.

Найти:

1. Оценить время разрядки конденсатора $\tau$.

2. Определить вид графика зависимости напряжения на конденсаторе $U$ от времени $t$.

Решение:

Оцените время τ разрядки конденсатора

После замыкания ключа конденсатор начинает разряжаться через резистор. Напряжение $U$ на конденсаторе уменьшается со временем. Согласно закону Ома для участка цепи, сила тока в резисторе $i = U/R$. Так как напряжение $U$ падает, сила тока $i$ также уменьшается. Это означает, что процесс разрядки замедляется со временем.

Под временем разрядки $\tau$ (или постоянной времени цепи) понимают характерное время, за которое параметры цепи (напряжение, заряд, ток) изменяются в $e \approx 2,718$ раз. Оценить это время можно методом анализа размерностей.

Время разрядки $\tau$ может зависеть только от параметров цепи: сопротивления $R$ (в Омах, Ом), емкости $C$ (в Фарадах, Ф) и, возможно, начального напряжения $U_0$ (в Вольтах, В). Наша задача — составить из этих величин комбинацию, имеющую размерность времени (секунды, с).

Единицы измерения: $[R] = \text{Ом}$, $[C] = \text{Ф}$.

По определению емкости, $C = q/U$, где $q$ - заряд. Значит, $1 \text{ Ф} = 1 \text{ Кл} / 1 \text{ В}$.

Сила тока $i = dq/dt$, значит, $1 \text{ А} = 1 \text{ Кл} / 1 \text{ с}$, откуда $1 \text{ Кл} = 1 \text{ А} \cdot 1 \text{ с}$.

По закону Ома, $U = iR$, значит, $1 \text{ В} = 1 \text{ А} \cdot 1 \text{ Ом}$.

Подставим эти соотношения в единицу измерения емкости:

$[C] = \text{Ф} = \frac{\text{Кл}}{\text{В}} = \frac{\text{А} \cdot \text{с}}{\text{А} \cdot \text{Ом}} = \frac{\text{с}}{\text{Ом}}$

Теперь составим произведение $RC$:

$[RC] = [R] \cdot [C] = \text{Ом} \cdot \frac{\text{с}}{\text{Ом}} = \text{с}$

Таким образом, произведение $RC$ имеет размерность времени. Можно показать, что это единственная комбинация $R$ и $C$, дающая размерность времени, и что начальное напряжение $U_0$ не входит в формулу для $\tau$. Следовательно, характерное время разрядки пропорционально произведению $RC$. В физике это время так и определяют как постоянную времени RC-цепи: $\tau = RC$.

Для более строгого обоснования запишем второе правило Кирхгофа для замкнутого контура:

$U_C + U_R = 0$

Здесь $U_C = U$ - напряжение на конденсаторе, а $U_R = iR$ - напряжение на резисторе. Ток $i$, вытекающий из конденсатора, связан с уменьшением его заряда $q$: $i = -dq/dt$. Так как $q = CU$, то $i = -C \frac{dU}{dt}$.

Подставляя выражения, получаем дифференциальное уравнение:

$U + R \left(-C \frac{dU}{dt}\right) = 0 \implies U = RC \frac{dU}{dt}$

Перегруппировав члены, получаем $RC \frac{dU}{dt} + U = 0$. Решением этого уравнения с начальным условием $U(0) = U_0$ является функция:

$U(t) = U_0 e^{-t/(RC)}$

Из этой формулы видно, что величина $\tau = RC$ является показателем экспоненты и характеризует скорость спада напряжения. За время $t=\tau$ напряжение на конденсаторе уменьшается в $e$ раз по сравнению с начальным: $U(\tau) = U_0 e^{-1} \approx 0.37 U_0$.

Ответ: Характерное время разрядки конденсатора, или постоянная времени RC-цепи, оценивается как произведение сопротивления резистора на емкость конденсатора: $\tau = RC$.

Как выглядит график зависимости от времени напряжения U на конденсаторе?

Зависимость напряжения на конденсаторе от времени при его разрядке через резистор описывается формулой, полученной выше:

$U(t) = U_0 e^{-t/(RC)}$

Эта функция представляет собой экспоненциальное затухание. Проанализируем ее свойства:

1. В начальный момент времени $t=0$, напряжение максимально и равно начальному напряжению, до которого был заряжен конденсатор: $U(0) = U_0 e^0 = U_0$.

2. С течением времени ($t > 0$) показатель экспоненты становится отрицательным, и напряжение убывает.

3. При $t \to \infty$, напряжение асимптотически стремится к нулю: $U(t) \to 0$. Теоретически, конденсатор разряжается бесконечно долго, но на практике считают, что он разряжен за время порядка $5\tau$, когда напряжение падает до менее 1% от начального.

4. Скорость разрядки (наклон графика) $dU/dt = - \frac{U_0}{RC} e^{-t/(RC)}$ максимальна по модулю в начальный момент времени и уменьшается по мере разрядки. Это означает, что кривая наиболее круто идет вниз вначале, а затем становится все более пологой.

График этой зависимости — это кривая, начинающаяся в точке $(0, U_0)$ на оси ординат и плавно, асимптотически приближающаяся к оси абсцисс. Именно такой график и представлен на рисунке в условии задачи.

Ответ: График зависимости напряжения $U$ на конденсаторе от времени $t$ представляет собой экспоненциально убывающую кривую, которая начинается со значения начального напряжения $U_0$ при $t=0$ и асимптотически стремится к нулю при $t \to \infty$. Закон убывания напряжения: $U(t) = U_0 e^{-t/(RC)}$.