Номер 29.8, страница 210 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Постоянный электрический ток. 29. Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца. Упражнения - номер 29.8, страница 210.

Условие.

29.8. Электрический чайник имеет две обмотки. При включении одной из них вода закипает через $t_1 = 12$ мин, при включении другой — через $t_2 = 24$ мин. Через сколько времени закипит вода в чайнике, если включить обе обмотки параллельно? Последовательно? Теплообмен с воздухом не учитывайте.

☑ Через 8 минут; через 36 минут.

Решение. Обозначим сопротивления обмоток чайника $R_1$ и $R_2$, напряжение в сети $\text{U}$. Количество теплоты, необходимое для доведения воды до кипения,

$Q = \frac{U^2}{R_1}t_1 = \frac{U^2}{R_2}t_2 = \frac{U^2}{R_1+R_2}t_{\text{посл}} = \left(\frac{U^2}{R_1} + \frac{U^2}{R_2}\right)t_{\text{пар}}$

Отсюда $R_1/R_2 = t_1/t_2$; время закипания воды при последовательном соединении обмоток $t_{\text{посл}} = t_1 + t_2 = 36$ (мин), при параллельном $t_{\text{пар}} = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2} = 8$ (мин). В действительности теплопередача от чайника к окружающему воздуху достаточно велика. Потери тепла тем больше, чем медленнее происходит нагревание.

Следовательно, $t_{\text{посл}} > 36$ мин, а $t_{\text{пар}} < 8$ мин.

Решение.

Дано:
Время закипания при включении первой обмотки $t_1 = 12$ мин
Время закипания при включении второй обмотки $t_2 = 24$ мин

$t_1 = 12 \cdot 60 = 720$ с
$t_2 = 24 \cdot 60 = 1440$ с

Найти:
Время закипания при параллельном соединении $t_{пар}$ — ?
Время закипания при последовательном соединении $t_{посл}$ — ?

Решение:

Обозначим сопротивления обмоток чайника как $R_1$ и $R_2$, а напряжение в сети как $U$. Количество теплоты $Q$, необходимое для доведения воды до кипения, во всех случаях одинаково. По закону Джоуля-Ленца, количество теплоты, выделяемое нагревателем, равно $Q = P \cdot t$, где $P$ — мощность, а $t$ — время. Мощность электрического нагревателя выражается формулой $P = \frac{U^2}{R}$.

Следовательно, количество теплоты можно записать как $Q = \frac{U^2}{R}t$.

Когда включена только первая обмотка, время закипания равно $t_1$:
$Q = \frac{U^2}{R_1}t_1$ (1)

Когда включена только вторая обмотка, время закипания равно $t_2$:
$Q = \frac{U^2}{R_2}t_2$ (2)

При параллельном соединении

При параллельном соединении двух обмоток общее сопротивление $R_{пар}$ находится по формуле:
$\frac{1}{R_{пар}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

Количество теплоты, необходимое для закипания, будет выделяться за время $t_{пар}$:
$Q = \frac{U^2}{R_{пар}}t_{пар} = U^2(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2})t_{пар}$

Из уравнений (1) и (2) выразим $\frac{U^2}{R_1}$ и $\frac{U^2}{R_2}$:
$\frac{U^2}{R_1} = \frac{Q}{t_1}$ и $\frac{U^2}{R_2} = \frac{Q}{t_2}$

Подставим эти выражения в формулу для параллельного соединения:
$Q = (\frac{Q}{t_1} + \frac{Q}{t_2})t_{пар}$

Разделим обе части уравнения на $Q$:
$1 = (\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2})t_{пар}$

Отсюда выразим $t_{пар}$:
$t_{пар} = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}} = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2}$

Подставим числовые значения:
$t_{пар} = \frac{12 \cdot 24}{12 + 24} = \frac{288}{36} = 8$ мин.
Ответ: при параллельном соединении вода закипит через 8 минут.

При последовательном соединении

При последовательном соединении двух обмоток общее сопротивление $R_{посл}$ равно сумме их сопротивлений:
$R_{посл} = R_1 + R_2$

Количество теплоты, необходимое для закипания, будет выделяться за время $t_{посл}$:
$Q = \frac{U^2}{R_{посл}}t_{посл} = \frac{U^2}{R_1 + R_2}t_{посл}$

Из уравнений (1) и (2) выразим сопротивления $R_1$ и $R_2$:
$R_1 = \frac{U^2 t_1}{Q}$ и $R_2 = \frac{U^2 t_2}{Q}$

Подставим эти выражения в формулу для последовательного соединения:
$Q = \frac{U^2}{\frac{U^2 t_1}{Q} + \frac{U^2 t_2}{Q}}t_{посл} = \frac{U^2}{\frac{U^2}{Q}(t_1 + t_2)}t_{посл}$

Упростим выражение:
$Q = \frac{Q}{t_1 + t_2}t_{посл}$

Отсюда выразим $t_{посл}$:
$t_{посл} = t_1 + t_2$

Подставим числовые значения:
$t_{посл} = 12 + 24 = 36$ мин.
Ответ: при последовательном соединении вода закипит через 36 минут.