Номер 123, страница 214 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Постоянный электрический ток. 29. Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца. Олимпиадные задачи - номер 123, страница 214.

Условие.

O23. Элемент замыкается проволокой один раз с сопротивлением $R_1 = 4 \text{ Ом}$, а другой — $R_2 = 9 \text{ Ом}$. В этом и другом случаях количество теплоты $\text{Q}$, выделяющееся в проволоках за одно и то же время, оказывается одинаковым. Каково внутреннее сопротивление элемента?

☑ $r = 6 \text{ Ом}$.

Решение. Условие задачи можно записать следующим образом: $Q_1 = Q_2$; $I_1^2 R_1 t = I_2^2 R_2 t$, откуда $I_1^2 R_1 = I_2^2 R_2$.

С другой стороны, на основании закона Ома для всей цепи $\mathcal{E} = I_1(r + R_1) = I_2(r + R_2)$.

Из последних двух равенств следует: $\frac{I_1}{I_2} = \sqrt{\frac{R_2}{R_1}}$ и $\frac{I_1}{I_2} = \frac{r + R_2}{r + R_1}$.

Решая совместно эти уравнения, находим

$r = \frac{R_1 - R_2 \sqrt{\frac{R_1}{R_2}}}{\sqrt{\frac{R_1}{R_2}} - 1} = \frac{R_1 - \sqrt{R_1 R_2}}{\sqrt{\frac{R_1}{R_2}} - \frac{R_1}{\sqrt{R_1 R_2}}} = \sqrt{R_1 R_2}$.

Откуда получаем $r = \sqrt{4 \cdot 9} = 6 \text{ (Ом)}$.

Решение.

Дано:

$R_1 = 4$ Ом

$R_2 = 9$ Ом

$Q_1 = Q_2$

$t_1 = t_2 = t$

Найти:

$r$ - ?

Решение:

Количество теплоты, выделяющееся в проводнике, определяется законом Джоуля-Ленца:

$Q = I^2Rt$

По условию задачи, количество теплоты, выделившееся в первом и втором случаях, одинаково за один и тот же промежуток времени $t$. Запишем это условие:

$Q_1 = Q_2$

$I_1^2 R_1 t = I_2^2 R_2 t$

Сократив время $t$, получаем соотношение между силами тока и сопротивлениями:

$I_1^2 R_1 = I_2^2 R_2$

Отсюда можно выразить отношение квадратов сил тока, а затем и самих сил тока:

$\frac{I_1^2}{I_2^2} = \frac{R_2}{R_1} \implies \frac{I_1}{I_2} = \sqrt{\frac{R_2}{R_1}}$

С другой стороны, по закону Ома для полной цепи, сила тока в каждом случае равна:

$I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_1 + r}$

$I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_2 + r}$

где $\mathcal{E}$ — ЭДС элемента, а $r$ — его внутреннее сопротивление.

Найдем отношение сил тока из этих выражений:

$\frac{I_1}{I_2} = \frac{\frac{\mathcal{E}}{R_1 + r}}{\frac{\mathcal{E}}{R_2 + r}} = \frac{R_2 + r}{R_1 + r}$

Теперь приравняем два полученных выражения для отношения $\frac{I_1}{I_2}$:

$\sqrt{\frac{R_2}{R_1}} = \frac{R_2 + r}{R_1 + r}$

Решим это уравнение относительно $r$:

$\sqrt{R_2}(R_1 + r) = \sqrt{R_1}(R_2 + r)$

$R_1\sqrt{R_2} + r\sqrt{R_2} = R_2\sqrt{R_1} + r\sqrt{R_1}$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $r$:

$r\sqrt{R_2} - r\sqrt{R_1} = R_2\sqrt{R_1} - R_1\sqrt{R_2}$

$r(\sqrt{R_2} - \sqrt{R_1}) = \sqrt{R_1R_2}(\sqrt{R_2} - \sqrt{R_1})$

Поскольку $R_1 \neq R_2$, то $(\sqrt{R_2} - \sqrt{R_1}) \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на это выражение:

$r = \sqrt{R_1 R_2}$

Подставим числовые значения:

$r = \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6$ (Ом)

Ответ: внутреннее сопротивление элемента равно $6$ Ом.