Номер 30.6, страница 216 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Постоянный электрический ток. 30. Электрический ток в металлах, жидкостях, газах и вакууме. Полупроводники. Упражнения - номер 30.6, страница 216.

Условие.

30.6. По медному проводнику течет электрический ток. Плотность тока $j = 6 \text{ A/мм}^2$. Найдите среднюю скорость $\text{v}$ упорядоченного движения электронов, считая, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон.

☑ 0,45 мм/с.

Решение. Используем соотношение $I = enSv$, где $\text{e}$ — элементарный заряд, $\text{n}$ — концентрация свободных электронов, $\text{S}$ — площадь сечения проводника. Согласно условию, $\text{n}$ совпадает с концентрацией атомов меди, т. е. $n = N/V = \rho N_A/M$ (здесь $\rho$ — плотность, а $\text{M}$ — молярная масса меди; $N_A$ — постоянная Авогадро; $N = \rho V N_A/M$ — количество атомов меди в объеме $\text{V}$). Поскольку, с другой стороны, $I = jS$, получаем $v = \frac{jM}{eN_A\rho} = 0,45 \text{ (мм/с)}$. Эта скорость (ее называют дрейфовой) ничтожно мала по сравнению со средней скоростью беспорядочного движения электронов.

Решение.

Дано:

Проводник - медь (Cu)

Плотность тока $j = 6 \text{ А/мм}^2$

На каждый атом меди приходится один свободный электрон.

Справочные данные, необходимые для решения:

Элементарный заряд $e \approx 1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл}$

Постоянная Авогадро $N_A \approx 6.02 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Молярная масса меди $M_{Cu} \approx 64 \text{ г/моль}$

Плотность меди $\rho_{Cu} \approx 8.9 \text{ г/см}^3$

Перевод в систему СИ:

$j = 6 \frac{\text{А}}{\text{мм}^2} = 6 \frac{\text{А}}{(10^{-3} \text{ м})^2} = 6 \times 10^6 \text{ А/м}^2$

$M = 64 \text{ г/моль} = 64 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}$

$\rho = 8.9 \text{ г/см}^3 = 8.9 \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 8.9 \frac{10^{-3}}{10^{-6}} \text{ кг/м}^3 = 8900 \text{ кг/м}^3$

Найти:

Среднюю скорость упорядоченного движения электронов $v$ - ?

Решение:

Плотность электрического тока $j$ определяется как сила тока $I$, проходящая через единицу площади поперечного сечения проводника $S$. Она связана со средней скоростью упорядоченного движения (дрейфовой скоростью) $v$ носителей заряда, их концентрацией $n$ и величиной заряда $q$ каждого носителя по формуле:

$j = nqv$

В данном случае носителями заряда являются электроны, поэтому $q=e$ (элементарный заряд).

$j = env$

Из этой формулы выразим искомую скорость $v$:

$v = \frac{j}{en}$

Концентрацию свободных электронов $n$ найдем из условия, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон. Таким образом, концентрация свободных электронов равна концентрации атомов меди в проводнике.

Концентрацию атомов $n$ можно найти через плотность вещества $\rho$, молярную массу $M$ и постоянную Авогадро $N_A$.

Количество вещества (число молей) в объеме $V$ равно $\nu = \frac{m}{M} = \frac{\rho V}{M}$.

Число атомов в этом объеме $N = \nu N_A = \frac{\rho V N_A}{M}$.

Тогда концентрация атомов (а значит и свободных электронов) равна:

$n = \frac{N}{V} = \frac{\rho N_A}{M}$

Подставим полученное выражение для концентрации $n$ в формулу для скорости $v$:

$v = \frac{j}{e \frac{\rho N_A}{M}} = \frac{jM}{e \rho N_A}$

Теперь подставим числовые значения в системе СИ и произведем вычисления:

$v = \frac{(6 \times 10^6 \text{ А/м}^2) \times (64 \times 10^{-3} \text{ кг/моль})}{(1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл}) \times (8900 \text{ кг/м}^3) \times (6.02 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1})}$

$v = \frac{3.84 \times 10^5}{1.6 \times 8.9 \times 6.02 \times 10^{-19} \times 10^3 \times 10^{23}} = \frac{3.84 \times 10^5}{85.79 \times 10^7} \approx 0.04476 \times 10^{-2} \text{ м/с}$

$v \approx 4.48 \times 10^{-4} \text{ м/с}$

Переведем полученное значение скорости в мм/с, зная, что $1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$:

$v \approx 4.48 \times 10^{-4} \times 1000 \text{ мм/с} = 0.448 \text{ мм/с}$

Округлим результат до сотых:

$v \approx 0.45 \text{ мм/с}$

Ответ: средняя скорость упорядоченного движения электронов составляет примерно $0.45 \text{ мм/с}$.