Номер 122, страница 213 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 29. Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца. Постоянный электрический ток. Электродинамика - номер 122, страница 213.

Условие.

O22. Сопротивление реостата (см. рис.) $R = 16$ Ом. ЭДС источника тока $\mathcal{E} = 12$ В, его внутреннее сопротивление $r = 2$ Ом. Выразите через отношение $x = l/L$ следующие величины: силу тока $\text{I}$ через источник; напряжение $\text{U}$ на полюсах источника тока; мощность $\text{P}$, выделяющуюся в реостате. Постройте соответствующие графики.

☑ $I = \frac{\mathcal{E}}{r+Rx(1-x)}$; $U = \frac{\mathcal{E}Rx(1-x)}{r+Rx(1-x)}$; $P = \frac{\mathcal{E}^2Rx(1-x)}{(r+Rx(1-x))^2}$.

См. рис. а, б, в.

Указание Обе части реостата соединены параллельно, сопротивление внешней цепи $R_0 = Rx(1-x)$; все графики симметричны относительно прямой $x = 1/2$.

Поясним характерный «двугорбый» вид графика $P(x)$ максимум достигается для согласованной нагрузки (см. задачу 29.9) — при $R_0 = 2$ Ом. При перемещении же движка реостата от любого края к середине величина $R_0$ изменяется от нуля до $R/4 = 4$ Ом, проходя при этом через значение 2 Ом.

Рис. а

Рис. б

Рис. в

Решение.

Дано:

Полное сопротивление реостата $R = 16$ Ом

ЭДС источника тока $\mathcal{E} = 12$ В

Внутреннее сопротивление источника $r = 2$ Ом

Относительное положение движка реостата $x = l/L$, где $x \in [0, 1]$

Найти:

$I(x)$ – зависимость силы тока через источник от положения движка;

$U(x)$ – зависимость напряжения на полюсах источника от положения движка;

$P(x)$ – зависимость мощности, выделяющейся в реостате, от положения движка;

Построить графики этих зависимостей.

Решение:

Из схемы подключения реостата видно, что движок делит его на две части, которые оказываются соединены параллельно. Сопротивление этих частей зависит от положения движка $x$.

Сопротивление первой части (от начала до движка): $R_1 = R \cdot \frac{l}{L} = Rx$.

Сопротивление второй части (от движка до конца): $R_2 = R \cdot \frac{L-l}{L} = R(1-x)$.

Общее сопротивление внешней цепи (эквивалентное сопротивление реостата) равно:

$R_{внеш} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \frac{Rx \cdot R(1-x)}{Rx + R(1-x)} = \frac{R^2 x(1-x)}{R(x + 1 - x)} = Rx(1-x)$.

Подставив значение $R$, получим: $R_{внеш}(x) = 16x(1-x)$.

Это сопротивление изменяется от $0$ (при $x=0$ и $x=1$) до максимального значения при $x=0.5$: $R_{внеш, max} = 16 \cdot 0.5 \cdot (1-0.5) = 4$ Ом.

Сила тока I через источник

Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока, протекающего через источник, определяется как отношение ЭДС к полному сопротивлению цепи, которое является суммой внешнего и внутреннего сопротивлений:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R_{внеш} + r}$

Подставляя выражение для $R_{внеш}$, получаем зависимость силы тока от $x$:

$I(x) = \frac{\mathcal{E}}{r + Rx(1-x)}$

C числовыми значениями: $I(x) = \frac{12}{2 + 16x(1-x)}$.

Анализ функции для построения графика:

• При $x=0$ и $x=1$, $R_{внеш} = 0$, сила тока максимальна: $I_{max} = \frac{12}{2+0} = 6$ А.
• При $x=0.5$, $R_{внеш} = 4$ Ом, сила тока минимальна: $I_{min} = \frac{12}{2+4} = 2$ А.

График $I(x)$ представляет собой кривую, симметричную относительно вертикальной оси $x=0.5$, с минимумом в этой точке. Значения на краях ($x=0$ и $x=1$) равны 6 А, а в середине ($x=0.5$) - 2 А.

Ответ: $I(x) = \frac{\mathcal{E}}{r + Rx(1-x)}$

Напряжение U на полюсах источника

Напряжение на полюсах источника равно напряжению на внешней цепи: $U = I \cdot R_{внеш}$. Также его можно выразить как $U = \mathcal{E} - I \cdot r$. Используем первую формулу:

$U(x) = I(x) \cdot R_{внеш}(x) = \frac{\mathcal{E}}{r + Rx(1-x)} \cdot Rx(1-x) = \frac{\mathcal{E}Rx(1-x)}{r + Rx(1-x)}$

С числовыми значениями: $U(x) = \frac{12 \cdot 16x(1-x)}{2 + 16x(1-x)} = \frac{192x(1-x)}{2 + 16x(1-x)}$.

Анализ функции для построения графика:

• При $x=0$ и $x=1$, $R_{внеш} = 0$, следовательно, напряжение $U=0$ В.
• Напряжение максимально, когда максимально внешнее сопротивление, то есть при $x=0.5$, где $R_{внеш} = 4$ Ом.
• $U_{max} = \frac{12 \cdot 4}{2+4} = \frac{48}{6} = 8$ В.

График $U(x)$ представляет собой куполообразную кривую, симметричную относительно оси $x=0.5$. Он начинается от 0 при $x=0$, достигает максимума 8 В при $x=0.5$ и снова опускается до 0 при $x=1$.

Ответ: $U(x) = \frac{\mathcal{E}Rx(1-x)}{r + Rx(1-x)}$

Мощность P, выделяющаяся в реостате

Мощность, выделяющаяся на внешнем сопротивлении (реостате), вычисляется по формуле $P = I^2 \cdot R_{внеш}$.

$P(x) = (I(x))^2 \cdot R_{внеш}(x) = \left( \frac{\mathcal{E}}{r + Rx(1-x)} \right)^2 \cdot Rx(1-x) = \frac{\mathcal{E}^2 Rx(1-x)}{(r + Rx(1-x))^2}$

С числовыми значениями: $P(x) = \frac{12^2 \cdot 16x(1-x)}{(2 + 16x(1-x))^2} = \frac{2304x(1-x)}{(2 + 16x(1-x))^2}$.

Анализ функции для построения графика:

• При $x=0$ и $x=1$, $R_{внеш} = 0$, следовательно, мощность $P=0$ Вт.
• Мощность во внешней цепи максимальна, когда внешнее сопротивление равно внутреннему: $R_{внеш} = r$.
• $16x(1-x) = 2 \implies 16x - 16x^2 = 2 \implies 8x^2 - 8x + 1 = 0$.
• Решая квадратное уравнение, находим два значения $x$, при которых мощность максимальна: $x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64-32}}{16} = \frac{8 \pm \sqrt{32}}{16} = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{4}$. Приблизительные значения: $x_1 \approx 0.15$ и $x_2 \approx 0.85$.
• Максимальное значение мощности: $P_{max} = \frac{\mathcal{E}^2}{4r} = \frac{12^2}{4 \cdot 2} = \frac{144}{8} = 18$ Вт.
• При $x=0.5$, $R_{внеш} = 4$ Ом, мощность имеет локальный минимум: $P(0.5) = \frac{144 \cdot 4}{(2+4)^2} = \frac{576}{36} = 16$ Вт.

График $P(x)$ имеет "двугорбую" форму. Он начинается с 0, достигает максимума 18 Вт при $x \approx 0.15$, затем снижается до локального минимума 16 Вт при $x=0.5$, снова возрастает до максимума 18 Вт при $x \approx 0.85$ и опускается до 0 при $x=1$.

Ответ: $P(x) = \frac{\mathcal{E}^2 Rx(1-x)}{(r + Rx(1-x))^2}$