Номер 28.6, страница 202 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Постоянный электрический ток. 28. Электродвижущая сила. Закон Ома для полной цепи. Упражнения - номер 28.6, страница 202.

Условие.

28.6. Два соединенных последовательно вольтметра подключены к клеммам источника тока. Показания вольтметров таковы: $U_1 = 5,0$ В и $U_2 = 15$ В. Если подключить к источнику только первый вольтметр, он покажет $U'_1 = 19$ В. Найдите ЭДС источника.

☑ $\varepsilon = 20,4$ В.

Решение. Обозначим сопротивления вольтметров $R_1$ и $R_2$, внутреннее сопротивление источника $\text{r}$. Из закона Ома следует, что $\frac{\varepsilon}{R_1 + r} = \frac{U'_1}{R_1}$.

При последовательном соединении $\frac{U_1}{R_1} = \frac{U_2}{R_2} = \frac{\varepsilon}{R_1 + R_2 + r}$.

Отсюда

$\varepsilon = \frac{U'_1 U_2}{U'_1 - U_1} = 20,4$ (В).

Решение.

Дано:

$U_1 = 5,0$ В

$U_2 = 15$ В

$U'_1 = 19$ В

Найти:

$\mathcal{E}$

Решение:

Обозначим сопротивления вольтметров как $R_1$ и $R_2$, а ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока как $\mathcal{E}$ и $r$ соответственно.

Рассмотрим два случая.

1. Два вольтметра соединены последовательно и подключены к источнику.В этом случае через оба вольтметра течет один и тот же ток $I$. Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока равна:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R_1 + R_2 + r}$

Напряжения, которые показывают вольтметры, определяются по закону Ома для участка цепи:

$U_1 = I R_1$

$U_2 = I R_2$

Напряжение на клеммах источника равно сумме напряжений на вольтметрах и связано с ЭДС следующим образом:

$U_{клемм} = U_1 + U_2 = \mathcal{E} - I r$

Подставив в это уравнение выражение для тока $I = U_1 / R_1$, получим:

$U_1 + U_2 = \mathcal{E} - \frac{U_1}{R_1} r$ (1)

2. К источнику подключен только первый вольтметр.В этом случае сила тока в цепи $I'$ и напряжение на вольтметре $U'_1$ связаны законом Ома для полной цепи:

$I' = \frac{\mathcal{E}}{R_1 + r}$

Напряжение на вольтметре (оно же напряжение на клеммах источника) равно:

$U'_1 = I' R_1 = \frac{\mathcal{E} R_1}{R_1 + r}$

Из последнего выражения можно выразить внутреннее сопротивление $r$ через другие величины:

$U'_1 (R_1 + r) = \mathcal{E} R_1$

$U'_1 R_1 + U'_1 r = \mathcal{E} R_1$

$U'_1 r = (\mathcal{E} - U'_1) R_1$

Отсюда находим отношение $\frac{r}{R_1}$:

$\frac{r}{R_1} = \frac{\mathcal{E} - U'_1}{U'_1}$ (2)

Теперь подставим выражение (2) в уравнение (1):

$U_1 + U_2 = \mathcal{E} - U_1 \left( \frac{\mathcal{E} - U'_1}{U'_1} \right)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $\mathcal{E}$:

$U_1 + U_2 = \mathcal{E} - \frac{U_1 \mathcal{E}}{U'_1} + \frac{U_1 U'_1}{U'_1}$

$U_1 + U_2 = \mathcal{E} - \frac{U_1 \mathcal{E}}{U'_1} + U_1$

Сократим $U_1$ в обеих частях уравнения:

$U_2 = \mathcal{E} - \frac{U_1 \mathcal{E}}{U'_1}$

Вынесем $\mathcal{E}$ за скобки:

$U_2 = \mathcal{E} \left( 1 - \frac{U_1}{U'_1} \right) = \mathcal{E} \left( \frac{U'_1 - U_1}{U'_1} \right)$

Отсюда выражаем искомую ЭДС:

$\mathcal{E} = \frac{U_2 U'_1}{U'_1 - U_1}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\mathcal{E} = \frac{15 \cdot 19}{19 - 5,0} = \frac{285}{14} \approx 20,357 \text{ В}$

Округляя результат до десятых, получаем:

$\mathcal{E} \approx 20,4$ В

Ответ: $\mathcal{E} = 20,4$ В.