Номер 114, страница 199 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 27. Последовательное и параллельное соединение проводников. Постоянный электрический ток. Электродинамика - номер 114, страница 199.

Условие.

O14. В цепи, представленной на рисунке, гальванометр показывает отсутствие тока. Выразите сопротивление $R_x$ через $R_1, R_2, R_3$.

☑ $ R_x = R_1 R_3 / R_2$.

Решение. Ток не идет через гальванометр, когда прибор включен между точками с равными потенциалами. Следовательно, гальванометр можно изъять из цепи (см. рисунок).

Тогда из условия $φ_A = φ_B$ находим $U_x = U_1$, $U_3 = U_2$. Поскольку $U_x / U_3 = R_x / R_3$ и $U_1 / U_2 = R_1 / R_2$, получаем $R_x / R_3 = R_1 / R_2$.

Решение.

Дано:

Электрическая цепь, состоящая из четырех резисторов $R_1$, $R_2$, $R_3$, $R_x$ и гальванометра $G$, соединенных по схеме измерительного моста (мост Уитстона).

Гальванометр показывает отсутствие тока, $I_G = 0$.

Найти:

Выразить сопротивление $R_x$ через $R_1$, $R_2$, $R_3$.

Решение:

Схема, представленная на рисунке, является мостом Уитстона. Условие, что гальванометр показывает отсутствие тока ($I_G = 0$), означает, что мост сбалансирован. Это возможно только в том случае, если потенциалы в точках, к которым подключен гальванометр, равны.

Обозначим узел между резисторами $R_x$ и $R_3$ как точку A, а узел между резисторами $R_1$ и $R_2$ как точку B. Условие баланса моста записывается как равенство потенциалов:

$\phi_A = \phi_B$

Поскольку ток через гальванометр не течет, ток, протекающий через резистор $R_x$, также протекает и через резистор $R_3$. Обозначим этот ток как $I_{x3}$. Аналогично, ток, протекающий через резистор $R_1$, также протекает и через резистор $R_2$. Обозначим этот ток как $I_{12}$.

$I_{x3} = I_x = I_3$

$I_{12} = I_1 = I_2$

Равенство потенциалов $\phi_A = \phi_B$ означает, что падение напряжения на резисторе $R_x$ равно падению напряжения на резисторе $R_1$.

$U_x = U_1$

Используя закон Ома, получаем:

$I_{x3} \cdot R_x = I_{12} \cdot R_1$ (1)

Также из условия $\phi_A = \phi_B$ следует, что падение напряжения на резисторе $R_3$ равно падению напряжения на резисторе $R_2$.

$U_3 = U_2$

$I_{x3} \cdot R_3 = I_{12} \cdot R_2$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Разделим уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{I_{x3} \cdot R_x}{I_{x3} \cdot R_3} = \frac{I_{12} \cdot R_1}{I_{12} \cdot R_2}$

Сократив токи $I_{x3}$ и $I_{12}$, получим пропорцию:

$\frac{R_x}{R_3} = \frac{R_1}{R_2}$

Из этой пропорции выразим искомое сопротивление $R_x$:

$R_x = \frac{R_1 \cdot R_3}{R_2}$

Ответ: $R_x = \frac{R_1 R_3}{R_2}$.