Номер 111, страница 197 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 27. Последовательное и параллельное соединение проводников. Постоянный электрический ток. Электродинамика - номер 111, страница 197.

Условие.

O11. Какой ток идет через проводник AB (см. рисунок), если $R_1 = R_4 = R$, а $R_2 = R_3 = 3R$? К цепи приложено напряжение $\text{U}$. Сопротивлением проводника AB можно пренебречь.

☑ От точки A к точке B течет ток $I = U/(3R)$.

Решение.Поскольку сопротивление проводника AB пренебрежимо мало, потенциалы точек A и B можно считать одинаковыми. Объединив эти точки, получим участки цепи 1-3 и 2-4 с равными сопротивлениями. Напряжение на каждом из этих участков $U/2$, токи через резисторы 1 и 2 соответственно $I_1 = U/(2R)$ и $I_2 = U/(6R)$. Возвращаясь к исходной схеме, находим ток $\text{I}$ через проводник AB: из закона сохранения заряда следует, что ток $I = I_1 - I_2 = U/(3R)$ течет от A к B.

Решение.

Дано:

$R_1 = R_4 = R$

$R_2 = R_3 = 3R$

Напряжение источника: $U$

Сопротивление проводника AB: $R_{AB} \approx 0$

Найти:

Ток через проводник AB: $I_{AB}$

Решение:

Сначала определим направление тока, сравнив электрические потенциалы в точках А и В в отсутствие проводника АВ. Схема в этом случае представляет собой две параллельные ветви, подключенные к напряжению $U$.

Сопротивление верхней ветви, состоящей из последовательно соединенных резисторов $R_1$ и $R_2$, равно:

$R_{12} = R_1 + R_2 = R + 3R = 4R$

Сопротивление нижней ветви, состоящей из последовательно соединенных резисторов $R_3$ и $R_4$, равно:

$R_{34} = R_3 + R_4 = 3R + R = 4R$

Ток, протекающий через верхнюю ветвь:

$I_{12} = \frac{U}{R_{12}} = \frac{U}{4R}$

Ток, протекающий через нижнюю ветвь:

$I_{34} = \frac{U}{R_{34}} = \frac{U}{4R}$

Примем потенциал отрицательной клеммы источника равным нулю ($\phi_- = 0$), тогда потенциал положительной клеммы будет равен $U$ ($\phi_+ = U$).

Потенциал в точке А равен потенциалу положительной клеммы за вычетом падения напряжения на резисторе $R_1$:

$\phi_A = U - I_{12} \cdot R_1 = U - \frac{U}{4R} \cdot R = U - \frac{U}{4} = \frac{3U}{4}$

Потенциал в точке B равен потенциалу положительной клеммы за вычетом падения напряжения на резисторе $R_3$:

$\phi_B = U - I_{34} \cdot R_3 = U - \frac{U}{4R} \cdot 3R = U - \frac{3U}{4} = \frac{U}{4}$

Поскольку $\phi_A > \phi_B$, при подключении проводника АВ ток потечет от точки А к точке В.

Теперь найдем величину этого тока. По условию, сопротивлением проводника АВ можно пренебречь, что эквивалентно соединению точек А и В накоротко. В этом случае их потенциалы становятся равными, и схема преобразуется. Резисторы $R_1$ и $R_3$ оказываются соединены параллельно, и их группа соединена последовательно с группой параллельно соединенных резисторов $R_2$ и $R_4$.

Эквивалентное сопротивление группы резисторов $R_1$ и $R_3$:

$R_{13} = \frac{R_1 \cdot R_3}{R_1 + R_3} = \frac{R \cdot 3R}{R + 3R} = \frac{3R^2}{4R} = \frac{3R}{4}$

Эквивалентное сопротивление группы резисторов $R_2$ и $R_4$:

$R_{24} = \frac{R_2 \cdot R_4}{R_2 + R_4} = \frac{3R \cdot R}{3R + R} = \frac{3R^2}{4R} = \frac{3R}{4}$

Так как сопротивления двух последовательных участков цепи равны ($R_{13} = R_{24}$), общее напряжение $U$ делится между ними поровну. Таким образом, падение напряжения на каждой из групп резисторов составляет $U/2$.

Ток $I_1$, протекающий через резистор $R_1$, равен:

$I_1 = \frac{U/2}{R_1} = \frac{U/2}{R} = \frac{U}{2R}$

Ток $I_2$, протекающий через резистор $R_2$, равен:

$I_2 = \frac{U/2}{R_2} = \frac{U/2}{3R} = \frac{U}{6R}$

Рассмотрим узел А. Согласно первому правилу Кирхгофа (закону сохранения заряда), сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из него. В узел А втекает ток $I_1$. Из узла А вытекают ток $I_2$ (в резистор $R_2$) и искомый ток $I_{AB}$ (в проводник АВ).

$I_1 = I_2 + I_{AB}$

Отсюда выразим и вычислим ток $I_{AB}$:

$I_{AB} = I_1 - I_2 = \frac{U}{2R} - \frac{U}{6R} = \frac{3U - U}{6R} = \frac{2U}{6R} = \frac{U}{3R}$

Ответ: Через проводник течет ток $I = \frac{U}{3R}$ в направлении от точки А к точке В.