Номер 27.6, страница 193 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 27. Последовательное и параллельное соединение проводников. Постоянный электрический ток. Электродинамика - номер 27.6, страница 193.

Условие.

27.6. Для каждой из трех схем включения реостата (рис. а, б, в) постройте график зависимости сопротивления цепи R от сопротивления r правой части реостата. Обмотка реостата имеет сопротивление $R_0$.

Рис. а

Рис. б

Рис. в

Решение. Для случая а, очевидно, $R = r$. В случае б обе части обмотки реостата соединены параллельно, поэтому $R = \frac{r(R_0 - r)}{r + (R_0 - r)} = \frac{r(R_0 - r)}{R_0}$. В случае в часть обмотки соединена параллельно с резистором, поэтому получаем $R = \frac{rR_0}{r + R_0}$. На рисунке приведены графики этих зависимостей (прямая, парабола и гипербола).

Решение.

Для решения задачи необходимо найти зависимость общего сопротивления цепи $R$ от сопротивления $r$ для каждой из трех схем. В условии указано, что $r$ — сопротивление правой части реостата. Однако, анализ приведенных в задаче графиков и формул показывает, что под $r$ следует понимать сопротивление включенной в цепь (активной) части реостата, которое изменяется от $0$ до $R_0$ при перемещении ползунка. Дальнейшее решение основано на этом предположении.

Рис. а

В данной схеме реостат используется как переменный резистор. Ток проходит через часть обмотки от одного из крайних выводов до ползунка. Сопротивление цепи $R$ равно сопротивлению этой активной части реостата, которое мы обозначили как $r$.

Таким образом, зависимость имеет вид:

$R = r$

Это линейная функция, график которой — прямая линия, проходящая через начало координат. При $r=0$ сопротивление $R=0$, а при $r=R_0$ сопротивление $R=R_0$. Такой зависимости соответствует график а.

Ответ: Зависимость $R=r$ (линейная), график а.

Рис. б

В этой схеме к клеммам подключены оба конца обмотки и ползунок. Активная часть реостата с сопротивлением $r$ и неактивная часть с сопротивлением $(R_0 - r)$ оказываются соединенными параллельно.

Общее сопротивление цепи $R$ находится по формуле для параллельного соединения:

$\frac{1}{R} = \frac{1}{r} + \frac{1}{R_0 - r}$

Отсюда выразим $R$:

$R = \frac{r(R_0 - r)}{r + (R_0 - r)} = \frac{r(R_0 - r)}{R_0}$

Это квадратичная зависимость, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз.
Исследуем ключевые точки:
При $r=0$, $R = \frac{0(R_0 - 0)}{R_0} = 0$.
При $r=R_0$, $R = \frac{R_0(R_0 - R_0)}{R_0} = 0$.
Максимальное значение сопротивления достигается при $r = R_0/2$:
$R_{max} = \frac{(R_0/2)(R_0 - R_0/2)}{R_0} = \frac{(R_0/2) \cdot (R_0/2)}{R_0} = \frac{R_0^2/4}{R_0} = \frac{R_0}{4}$.
Такой зависимости соответствует график б.

Ответ: Зависимость $R = \frac{r(R_0 - r)}{R_0}$ (парабола), график б.

Рис. в

Схема представляет собой параллельное соединение реостата, включенного как переменный резистор (с сопротивлением $r$), и постоянного резистора с сопротивлением, равным полному сопротивлению реостата $R_0$.

Общее сопротивление цепи $R$ находится по формуле для параллельного соединения:

$\frac{1}{R} = \frac{1}{r} + \frac{1}{R_0}$

Выразим $R$:

$R = \frac{r R_0}{r + R_0}$

Это гиперболическая зависимость.
Исследуем ключевые точки:
При $r=0$, $R = \frac{0 \cdot R_0}{0 + R_0} = 0$.
При $r=R_0$, $R = \frac{R_0 \cdot R_0}{R_0 + R_0} = \frac{R_0^2}{2R_0} = \frac{R_0}{2}$.
Функция монотонно возрастает от 0 до $R_0/2$ на интервале $r \in [0, R_0]$. Такой зависимости соответствует график в.

Ответ: Зависимость $R = \frac{r R_0}{r + R_0}$ (гипербола), график в.