Номер 27.1, страница 190 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 27. Последовательное и параллельное соединение проводников. Постоянный электрический ток. Электродинамика - номер 27.1, страница 190.

Условие.

27.1. Из проволоки сопротивлением $R_0 = 32 \text{ Ом}$ сделано кольцо. В каких точках кольца следует подключить провода, чтобы получить сопротивление $R = 6 \text{ Ом}$?

Точки подключения должны делить кольцо в отношении 1:3.

Решение. Участки кольца соединены между собой параллельно. Обозначим длину кольца $\text{l}$, а длину одного из участков $\text{x}$. Тогда сопротивления участков $R_0x/l$ и $R_0(l-x)/l$, а сопротивление всей цепи $R = R_0x(l-x)/l^2$. Отсюда находим отношение $x/l$: оно равно 0,25 или 0,75. Оба значения соответствуют одному решению — делению кольца на две части в отношении 1:3.

Решение.

Дано:

Сопротивление всей проволоки (кольца), $R_0 = 32$ Ом.

Требуемое общее сопротивление, $R = 6$ Ом.

Найти:

Отношение, в котором точки подключения должны делить длину кольца.

Решение:

При подключении проводов к двум точкам на кольце, оно разделяется на два участка (две дуги), которые оказываются соединенными параллельно. Обозначим сопротивления этих участков как $R_1$ и $R_2$.

Так как эти два участка вместе составляют исходную проволоку, сумма их сопротивлений равна общему сопротивлению проволоки:

$R_1 + R_2 = R_0 = 32$ Ом.

Общее сопротивление $R$ при параллельном соединении вычисляется по формуле:

$R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$

Подставим известные значения $R$ и $R_0$ в эту формулу:

$6 = \frac{R_1 R_2}{32}$

Из этого уравнения можно найти произведение сопротивлений $R_1$ и $R_2$:

$R_1 R_2 = 6 \cdot 32 = 192$ (Ом²)

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

1) $R_1 + R_2 = 32$

2) $R_1 R_2 = 192$

Это система уравнений, которую можно решить, например, методом подстановки. Выразим $R_2$ из первого уравнения: $R_2 = 32 - R_1$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$R_1 (32 - R_1) = 192$

$32 R_1 - R_1^2 = 192$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$R_1^2 - 32 R_1 + 192 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-32)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 192 = 1024 - 768 = 256$

Найдем корни уравнения:

$R_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{32 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{32 \pm 16}{2}$

Получаем два возможных значения для $R_1$:

$R_{1,1} = \frac{32 + 16}{2} = \frac{48}{2} = 24$ Ом.

$R_{1,2} = \frac{32 - 16}{2} = \frac{16}{2} = 8$ Ом.

Если $R_1 = 24$ Ом, то $R_2 = 32 - 24 = 8$ Ом.

Если $R_1 = 8$ Ом, то $R_2 = 32 - 8 = 24$ Ом.

Оба случая описывают одну и ту же ситуацию: кольцо разделено на два участка с сопротивлениями 8 Ом и 24 Ом.

Для однородной проволоки сопротивление прямо пропорционально ее длине. Поэтому отношение длин участков будет равно отношению их сопротивлений:

$\frac{L_1}{L_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$

Следовательно, провода нужно подключить так, чтобы они делили кольцо на части, длины которых относятся как 1 к 3.

Ответ: Точки подключения должны делить кольцо в отношении 1:3.