Номер 105, страница 185 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Электрическое поле. 25. Электрическая емкость. Конденсатор. Энергия электрического поля. Олимпиадные задачи - номер 105, страница 185.

Условие.

O05. Два конденсатора, имеющие емкости $C_1 = 10 \text{ мкФ}$ и $C_2 = 50 \text{ мкФ}$, соединены последовательно. Конденсаторы могут выдержать напряжение соответственно $U_1$ и $U_2$. Какое наибольшее напряжение $U_{\text{max}}$ выдержит батарея из этих конденсаторов? Решите задачу при а) $U_1 = U_2 = 120 \text{ В}$; б) $U_1 = 120 \text{ В}$, $U_2 = 6 \text{ В}$.

☑ а) $U_{\text{max}} = 144 \text{ В}$; б) $U_{\text{max}} = 36 \text{ В}$.

Решение. Если к батарее приложено напряжение $\text{U}$, заряд батареи (а значит, и каждого из конденсаторов) $q = \frac{C_1 C_2 U}{C_1 + C_2}$, а напряжения на конденсаторах соответственно равны $U'_1 = \frac{q}{C_1} = \frac{C_2 U}{C_1 + C_2}$ и $U'_2 = \frac{q}{C_2} = \frac{C_1 U}{C_1 + C_2}$. При этом должны одновременно выполняться следующие неравенства $U'_1 \leq U_1$, $U'_2 \leq U_2$. Из них следует, что $U_{\text{max}}$ совпадает с меньшей из двух величин $\frac{(C_1 + C_2)U_1}{C_2}$ и $\frac{(C_1 + C_2)U_2}{C_1}$. Этот результат совпадает с «очевидным» ответом $U_{\text{max}} = U_1 + U_2$ только при $C_1 U_1 = C_2 U_2$. Подставляя числовые значения заданных величин, находим: а) $U_{\text{max}} = 144 \text{ В}$; б) $U_{\text{max}} = 36 \text{ В}$.

Решение.

Дано:

$C_1 = 10 \ мкФ = 10 \cdot 10^{-6} \ Ф$

$C_2 = 50 \ мкФ = 50 \cdot 10^{-6} \ Ф$

а) $U_1 = 120 \ В, U_2 = 120 \ В$

б) $U_1 = 120 \ В, U_2 = 6 \ В$

Найти:

Наибольшее напряжение $U_{max}$, которое выдержит батарея из этих конденсаторов для случаев а) и б).

Решение:

При последовательном соединении конденсаторов заряды на их обкладках одинаковы и равны заряду всей батареи: $q = q'_1 = q'_2$.

Общее напряжение на батарее конденсаторов равно сумме напряжений на каждом из них: $U = U'_1 + U'_2$.

Напряжение на каждом конденсаторе связано с его зарядом и емкостью: $U'_1 = q/C_1$ и $U'_2 = q/C_2$.

Максимально допустимый заряд, который может накопить каждый конденсатор, не вызывая пробоя, определяется его емкостью и максимальным допустимым напряжением:

$q_{max1} = C_1 U_1$

$q_{max2} = C_2 U_2$

Поскольку заряд на обоих конденсаторах в цепи должен быть одинаков, то максимальный заряд, который может накопить батарея, равен наименьшему из максимально допустимых зарядов для каждого конденсатора:

$q_{max} = \min(q_{max1}, q_{max2})$

Когда батарея заряжена до этого максимального заряда $q_{max}$, напряжения на конденсаторах будут $U'_{1max} = q_{max}/C_1$ и $U'_{2max} = q_{max}/C_2$. При этом напряжение на одном из конденсаторов достигнет своего предельного значения, а на другом будет меньше или равно предельному.

Максимальное напряжение, которое выдержит вся батарея, будет равно сумме этих напряжений:

$U_{max} = U'_{1max} + U'_{2max}$

Рассмотрим оба случая.

а) $U_1 = U_2 = 120 \ В$

Найдем максимально допустимые заряды для каждого конденсатора:

$q_{max1} = C_1 U_1 = 10 \cdot 10^{-6} \ Ф \cdot 120 \ В = 1200 \cdot 10^{-6} \ Кл = 1.2 \ мКл$

$q_{max2} = C_2 U_2 = 50 \cdot 10^{-6} \ Ф \cdot 120 \ В = 6000 \cdot 10^{-6} \ Кл = 6.0 \ мКл$

Максимальный заряд батареи равен наименьшему из этих значений:

$q_{max} = \min(1.2 \ мКл, 6.0 \ мКл) = 1.2 \ мКл = 1200 \cdot 10^{-6} \ Кл$

Это означает, что "слабым звеном" является первый конденсатор ($C_1$), он первым достигнет своего предельного напряжения.

Найдем напряжения на конденсаторах при этом заряде и их сумму:

$U'_{1max} = \frac{q_{max}}{C_1} = \frac{1200 \cdot 10^{-6} \ Кл}{10 \cdot 10^{-6} \ Ф} = 120 \ В$

$U'_{2max} = \frac{q_{max}}{C_2} = \frac{1200 \cdot 10^{-6} \ Кл}{50 \cdot 10^{-6} \ Ф} = 24 \ В$

$U_{max} = U'_{1max} + U'_{2max} = 120 \ В + 24 \ В = 144 \ В$

Ответ: $U_{max} = 144 \ В$.

б) $U_1 = 120 \ В, U_2 = 6 \ В$

Найдем максимально допустимые заряды для каждого конденсатора:

$q_{max1} = C_1 U_1 = 10 \cdot 10^{-6} \ Ф \cdot 120 \ В = 1200 \cdot 10^{-6} \ Кл = 1.2 \ мКл$

$q_{max2} = C_2 U_2 = 50 \cdot 10^{-6} \ Ф \cdot 6 \ В = 300 \cdot 10^{-6} \ Кл = 0.3 \ мКл$

Максимальный заряд батареи равен наименьшему из этих значений:

$q_{max} = \min(1.2 \ мКл, 0.3 \ мКл) = 0.3 \ мКл = 300 \cdot 10^{-6} \ Кл$

В этом случае "слабым звеном" является второй конденсатор ($C_2$).

Найдем напряжения на конденсаторах при этом заряде и их сумму:

$U'_{1max} = \frac{q_{max}}{C_1} = \frac{300 \cdot 10^{-6} \ Кл}{10 \cdot 10^{-6} \ Ф} = 30 \ В$

$U'_{2max} = \frac{q_{max}}{C_2} = \frac{300 \cdot 10^{-6} \ Кл}{50 \cdot 10^{-6} \ Ф} = 6 \ В$

$U_{max} = U'_{1max} + U'_{2max} = 30 \ В + 6 \ В = 36 \ В$

Ответ: $U_{max} = 36 \ В$.