Номер 25.7, страница 183 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 25. Электрическая емкость. Конденсатор. Энергия электрического поля. Электрическое поле. Электродинамика - номер 25.7, страница 183.

Условие.

25.7. В каком случае придется совершить большую работу при раздвигании пластин плоского конденсатора:

а) конденсатор после зарядки отключен от источника;

б) конденсатор остается подключенным к источнику напряжения?

Решение.

Вначале в обоих случаях необходимо преодолевать одинаковую силу $\text{F}$ притяжения пластин. В случае а заряд пластин остается неизменным, поэтому не меняется и напряженность поля $\text{E}$, так что $F = \text{const}$. В случае б постоянным остается напряжение $\text{U}$ на конденсаторе, а $\text{E}$ уменьшается, поскольку $E = U/d$. Соответственно уменьшается и заряд на обкладках, а значит, и сила притяжения между пластинами. Таким образом, при одинаковом перемещении пластин в случае б потребуется совершить меньшую работу.

Решение.

Для определения работы, совершаемой при раздвигании пластин конденсатора, воспользуемся законом сохранения энергии. Работа $A$ внешней силы идет на изменение энергии электрического поля в конденсаторе $\Delta W$ и на работу, совершаемую источником тока $A_{ист}$ (если конденсатор подключен к нему). Общее соотношение: $A = \Delta W - A_{ист}$.

Будем считать, что в начальный момент времени в обоих случаях параметры конденсатора одинаковы: заряд $q_1$, напряжение $U_1$, расстояние между пластинами $d_1$, емкость $C_1$. Пластины раздвигают до конечного расстояния $d_2$.

а) конденсатор после зарядки отключен от источника;

В этом случае конденсатор является электрически изолированной системой. Заряд на его обкладках остается постоянным: $q = q_1 = \text{const}$. Поскольку источник отключен, работа источника равна нулю ($A_{ист} = 0$). Тогда работа внешней силы равна изменению энергии, запасенной в конденсаторе:

$A_a = \Delta W = W_2 - W_1$

Энергию конденсатора можно выразить через заряд и емкость: $W = \frac{q^2}{2C}$. Емкость плоского конденсатора определяется как $C = \frac{\epsilon_0 S}{d}$, где $S$ – площадь пластин, $d$ – расстояние между ними, $\epsilon_0$ – электрическая постоянная.

Начальная энергия: $W_1 = \frac{q_1^2}{2C_1} = \frac{q_1^2 d_1}{2\epsilon_0 S}$.

Конечная энергия (при расстоянии $d_2$): $W_2 = \frac{q_1^2}{2C_2} = \frac{q_1^2 d_2}{2\epsilon_0 S}$.

Так как $d_2 > d_1$, энергия конденсатора возрастает ($W_2 > W_1$). Работа внешней силы положительна и равна:

$A_a = W_2 - W_1 = \frac{q_1^2}{2\epsilon_0 S}(d_2 - d_1)$.

б) конденсатор остается подключенным к источнику напряжения?

В этом случае напряжение на конденсаторе поддерживается постоянным и равным напряжению источника: $U = U_1 = \text{const}$.

При увеличении расстояния между пластинами с $d_1$ до $d_2$ емкость конденсатора уменьшается ($C_2 < C_1$). Это приводит к уменьшению заряда на пластинах, так как $q=CU$. Часть заряда $\Delta q = q_1 - q_2$ возвращается от конденсатора к источнику.

Изменение энергии конденсатора:

$\Delta W = W_2 - W_1 = \frac{1}{2}C_2 U_1^2 - \frac{1}{2}C_1 U_1^2 = \frac{1}{2}U_1^2(C_2 - C_1)$.

Поскольку $C_2 < C_1$, то $\Delta W < 0$, то есть энергия, запасенная в конденсаторе, уменьшается.

Заряд $q_2 - q_1 = (C_2-C_1)U_1$ проходит через источник против его ЭДС. Поэтому работа источника будет отрицательной (источник получает энергию):

$A_{ист} = (q_2-q_1)U_1 = (C_2-C_1)U_1^2$.

Работа внешней силы:

$A_б = \Delta W - A_{ист} = \frac{1}{2}U_1^2(C_2 - C_1) - U_1^2(C_2 - C_1) = -\frac{1}{2}U_1^2(C_2 - C_1) = \frac{1}{2}U_1^2(C_1 - C_2)$.

Подставив выражения для емкостей $C_1=\frac{\epsilon_0 S}{d_1}$ и $C_2=\frac{\epsilon_0 S}{d_2}$, получим:

$A_б = \frac{1}{2}U_1^2 \left(\frac{\epsilon_0 S}{d_1} - \frac{\epsilon_0 S}{d_2}\right) = \frac{\epsilon_0 S U_1^2}{2} \frac{d_2 - d_1}{d_1 d_2}$.

Для сравнения работ $A_a$ и $A_б$ выразим $A_a$ через начальное напряжение $U_1$, используя соотношение $q_1 = C_1 U_1 = \frac{\epsilon_0 S U_1}{d_1}$:

$A_a = \frac{1}{2\epsilon_0 S} \left(\frac{\epsilon_0 S U_1}{d_1}\right)^2 (d_2 - d_1) = \frac{\epsilon_0 S U_1^2}{2d_1^2} (d_2 - d_1)$.

Сравнивая выражения для работ:

$A_a = \frac{\epsilon_0 S U_1^2 (d_2 - d_1)}{2d_1^2}$ и $A_б = \frac{\epsilon_0 S U_1^2 (d_2 - d_1)}{2d_1 d_2}$.

Поскольку пластины раздвигаются, $d_2 > d_1$, и, следовательно, $d_1 d_2 > d_1^2$. Отсюда $\frac{1}{d_1^2} > \frac{1}{d_1 d_2}$, что означает $A_a > A_б$.

Интуитивно это можно понять, рассмотрев силу притяжения между пластинами. В случае а) заряд постоянен, и сила притяжения $F_a = \frac{q_1^2}{2\epsilon_0 S}$ не изменяется в процессе раздвигания. В случае б) напряжение постоянно, а расстояние $d$ увеличивается, поэтому сила притяжения $F_б = \frac{\epsilon_0 S U_1^2}{2d^2}$ уменьшается по мере раздвигания пластин. Так как в начальный момент силы равны, а в процессе движения сила в случае б) становится меньше, то и работа, совершаемая против этой силы, будет меньше.

Ответ: большую работу придется совершить в случае а), когда конденсатор после зарядки отключен от источника.