Номер 103, страница 184 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Электрическое поле. 25. Электрическая емкость. Конденсатор. Энергия электрического поля. Олимпиадные задачи - номер 103, страница 184.

Условие.

O03. Найдите заряд каждого из конденсаторов и разность потенциалов между точками D и E (см. рисунок), если $C_1 = C_2 = C_3 = C$, а $C_4 = 4C$. К точкам A и B подведено постоянное напряжение $\text{U}$.

☑ $q_1 = q_2 = CU/2$, $q_3 = q_4 = 4CU/5$; $\varphi_D - \varphi_E = -0,3U$.

Решение.

Емкость верхней ветви цепи $C/2$, заряды на конденсаторах этой ветви $q_1 = q_2 = CU/2$. Емкость нижней ветви $C_{34} = \frac{C_3 C_4}{C_3 + C_4} = \frac{4C}{5}$, заряды конденсаторов 3 и 4 $q_3 = q_4 = 4CU/5$. Напряжения на конденсаторах 1 и 3: $U_1 = q_1/C_1 = U/2$, $U_3 = q_3/C_3 = 4U/5$. Поскольку $U_1 = \varphi_D - \varphi_A$ и $U_3 = \varphi_E - \varphi_A$, получаем $\varphi_D - \varphi_E = U_1 - U_3 = -0,3U$.

Решение.

Дано:

$C_1 = C_2 = C_3 = C$, $C_4 = 4C$. Напряжение между точками A и B равно $U$.

Найти:

$q_1, q_2, q_3, q_4$ - ?, $\phi_D - \phi_E$ - ?

Решение:

Представленная схема состоит из двух параллельных ветвей (верхней и нижней), подключенных к источнику постоянного напряжения $U$. Это означает, что напряжение на каждой из ветвей равно $U$.

Заряд каждого из конденсаторов

В верхней ветви конденсаторы $C_1$ и $C_2$ соединены последовательно. При последовательном соединении заряды на конденсаторах одинаковы: $q_1 = q_2$. Найдем общую емкость этой ветви $C_{12}$:

$C_{12} = \frac{C_1 \cdot C_2}{C_1 + C_2} = \frac{C \cdot C}{C + C} = \frac{C^2}{2C} = \frac{C}{2}$

Общий заряд на верхней ветви, а следовательно и на каждом из конденсаторов $C_1$ и $C_2$, равен:

$q_1 = q_2 = C_{12} \cdot U = \frac{C}{2} \cdot U = \frac{CU}{2}$

В нижней ветви конденсаторы $C_3$ и $C_4$ также соединены последовательно, поэтому их заряды равны: $q_3 = q_4$. Найдем общую емкость нижней ветви $C_{34}$:

$C_{34} = \frac{C_3 \cdot C_4}{C_3 + C_4} = \frac{C \cdot 4C}{C + 4C} = \frac{4C^2}{5C} = \frac{4C}{5}$

Общий заряд на нижней ветви и на каждом из конденсаторов $C_3$ и $C_4$ равен:

$q_3 = q_4 = C_{34} \cdot U = \frac{4C}{5} \cdot U = \frac{4CU}{5}$

Ответ: Заряды на конденсаторах равны $q_1 = q_2 = \frac{CU}{2}$ и $q_3 = q_4 = \frac{4CU}{5}$.

Разность потенциалов между точками D и E

Разность потенциалов $\phi_D - \phi_E$ можно найти, выразив потенциалы точек D и E относительно потенциала общей точки A. Из схемы видно, что клемма "минус" источника подключена к точке A, а "плюс" - к точке B. Это значит, что пластины конденсаторов $C_1$ и $C_3$, подключенные к A, заряжены отрицательно, а пластины, подключенные к D и E, - положительно. Следовательно, $\phi_D > \phi_A$ и $\phi_E > \phi_A$.

Разность потенциалов между точками D и A - это напряжение на конденсаторе $C_1$:

$U_1 = \phi_D - \phi_A = \frac{q_1}{C_1} = \frac{CU/2}{C} = \frac{U}{2}$

Разность потенциалов между точками E и A - это напряжение на конденсаторе $C_3$:

$U_3 = \phi_E - \phi_A = \frac{q_3}{C_3} = \frac{4CU/5}{C} = \frac{4U}{5}$

Теперь можно найти искомую разность потенциалов:

$\phi_D - \phi_E = (\phi_D - \phi_A) - (\phi_E - \phi_A) = U_1 - U_3$

Подставим найденные значения напряжений:

$\phi_D - \phi_E = \frac{U}{2} - \frac{4U}{5} = \frac{5U - 8U}{10} = -\frac{3U}{10} = -0.3U$

Ответ: Разность потенциалов между точками D и E равна $\phi_D - \phi_E = -0.3U$.