Номер 25.6, страница 182 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 25. Электрическая емкость. Конденсатор. Энергия электрического поля. Электрическое поле. Электродинамика - номер 25.6, страница 182.

Условие.

25.6. Заряженный плоский конденсатор, отключенный от источника ЭДС, помещен в сосуд с жидким диэлектриком. Если открыть кран у дна сосуда, диэлектрик вытечет, и энергия конденсатора увеличится. За счет какой энергии увеличится энергия конденсатора?

Решение. Если бы конденсатор не был заряжен, то при вытекании из него жидкий диэлектрик приобрел бы некоторую кинетическую энергию $W_k$. При заряженном конденсаторе вытекание замедляется: на диэлектрик действует сила, втягивающая его в поле конденсатора. Значит, в этом случае диэлектрик приобретает кинетическую энергию $W'_k$, меньшую $W_k$. Разность $W_k - W'_k$ как раз и будет равна увеличению энергии конденсатора, о котором идет речь в условии (если можно пренебречь потерями энергии, обусловленными внутренним трением при вытекании жидкости).

Решение.

Решение

Энергия заряженного плоского конденсатора, который отключен от источника ЭДС, выражается формулой $W = \frac{q^2}{2C}$, где $q$ — это заряд на обкладках конденсатора, а $C$ — его электроемкость. Поскольку конденсатор отключен от источника, заряд $q$ на его обкладках остается постоянным в течение всего процесса.

Изначально, когда пространство между обкладками заполнено жидким диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$, емкость конденсатора равна $C_1 = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d}$. Энергия конденсатора в этом состоянии составляет $W_1 = \frac{q^2}{2C_1}$.

Когда диэлектрик вытекает, его место занимает воздух, диэлектрическая проницаемость которого практически равна 1. Емкость конденсатора становится $C_2 = \frac{\epsilon_0 S}{d}$. Соответственно, конечная энергия конденсатора будет равна $W_2 = \frac{q^2}{2C_2}$.

Так как для любого диэлектрика $\epsilon > 1$, то емкость в начальном состоянии больше, чем в конечном: $C_1 > C_2$. Из формулы для энергии следует, что конечная энергия $W_2$ будет больше начальной энергии $W_1$. Таким образом, энергия конденсатора действительно увеличивается.

Для ответа на вопрос об источнике этого увеличения энергии применим закон сохранения энергии к системе, состоящей из конденсатора и жидкого диэлектрика. Полная энергия системы складывается из энергии электрического поля конденсатора ($W_{el}$), потенциальной энергии диэлектрика в поле тяготения ($U_g$) и кинетической энергии вытекающей жидкости ($W_k$). Пренебрегая потерями на вязкое трение, можно считать систему замкнутой.

Когда жидкость вытекает из сосуда под действием силы тяжести, ее потенциальная энергия $U_g$ уменьшается. Это уменьшение потенциальной энергии и является источником энергии для всех остальных процессов в системе.

Однако на диэлектрик в поле конденсатора действует не только сила тяжести. Поляризованный диэлектрик втягивается в область более сильного электрического поля, то есть в пространство между обкладками. Следовательно, со стороны электрического поля на жидкость действует сила, направленная вверх и препятствующая ее вытеканию. Чтобы вытечь, жидкости необходимо преодолеть это электрическое притяжение.

Работа, совершаемая силой тяжести при опускании жидкости, расходуется на две части:

1. На совершение работы против втягивающей электрической силы. Эта работа равна увеличению энергии электрического поля конденсатора $\Delta W_{el} = W_2 - W_1$.
2. На сообщение жидкости кинетической энергии $W_k$.

Таким образом, по закону сохранения энергии, уменьшение потенциальной энергии жидкости ($\Delta U_g$) равно сумме увеличения энергии конденсатора и приобретенной кинетической энергии жидкости:

$\Delta U_g = \Delta W_{el} + W_k$

Если бы конденсатор не был заряжен ($q = 0$), то не было бы и втягивающей электрической силы. В этом гипотетическом случае вся убыль потенциальной энергии перешла бы в кинетическую энергию жидкости: $W'_{k} = \Delta U_g$. Сравнивая это с ситуацией в задаче, видим, что $W_k = \Delta U_g - \Delta W_{el} = W'_{k} - \Delta W_{el}$. Это означает, что в присутствии заряда жидкость вытекает медленнее и приобретает меньшую кинетическую энергию. Разница в кинетических энергиях ($W'_{k} - W_k$) как раз и равна увеличению энергии конденсатора.

Ответ:

Увеличение энергии конденсатора происходит за счет уменьшения потенциальной энергии жидкого диэлектрика в поле тяготения. Сила тяжести, выталкивая диэлектрик из конденсатора, совершает работу против электрических сил, которые стремятся удержать диэлектрик между обкладками. Эта работа преобразуется в энергию электрического поля, увеличивая ее. Как следствие, кинетическая энергия, которую приобретает вытекающий диэлектрик, оказывается меньше той, которую он приобрел бы, вытекая из незаряженного конденсатора.