Номер 25.8, страница 183 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 25. Электрическая емкость. Конденсатор. Энергия электрического поля. Электрическое поле. Электродинамика - номер 25.8, страница 183.

Условие.

25.8. Пространство между прямоугольными обкладками плоского конденсатора частично заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $ \varepsilon $. Площадь пластин конденсатора равна $\text{S}$. Найдите емкость конденсатора $\text{C}$ в каждом из случаев, показанных на рисунках а, б, в.

Рис. а

Рис. б

Рис. в

☑ a) $C = \frac{\varepsilon_0 S [L + (\varepsilon - 1)l]}{Ld}$, б) $C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{\varepsilon d - (\varepsilon - 1)h}$;

☑ в) $C = \frac{\varepsilon_0 S(L-l)}{Ld} + \frac{\varepsilon_0 \varepsilon Sl}{L[\varepsilon d - (\varepsilon - 1)h]}$.

Решение. В случае в конденсатор можно представить как батарею из трех различных конденсаторов — двух воздушных и одного полностью заполненного диэлектриком (см. рисунок).

Очевидно, $C_1 = \frac{\varepsilon_0 Sl}{L(d-h)}$, $C_2 = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon Sl}{Lh}$, $C_3 = \frac{\varepsilon_0 S(L-l)}{Ld}$.

Тогда емкость батареи составляет:

$C = C_3 + \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} =$

$= \frac{\varepsilon_0 S(L-l)}{Ld} + \frac{\varepsilon_0 \varepsilon Sl}{L[\varepsilon d - (\varepsilon - 1)h]}$.

Отсюда при $h = d$ получаем случай а, а при $l = L$ — случай б.

Решение.

Дано:

$S$ - площадь пластин конденсатора
$L$ - длина пластин конденсатора
$d$ - расстояние между пластинами
$\varepsilon$ - диэлектрическая проницаемость диэлектрика
$\varepsilon_0$ - электрическая постоянная
$l$ - длина диэлектрической вставки
$h$ - толщина диэлектрической вставки

Найти:

$C$ - емкость конденсатора в каждом из трех случаев (а, б, в).

Решение:

Для нахождения общей емкости системы будем представлять конденсатор с частичным заполнением диэлектриком как систему из нескольких более простых конденсаторов, соединенных последовательно или параллельно. Емкость плоского конденсатора с площадью пластин $S'$, расстоянием между ними $d'$ и диэлектрической проницаемостью среды $\varepsilon$ равна $C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S'}{d'}$. Для вакуума или воздуха $\varepsilon=1$.

а)

В этом случае диэлектрик заполняет все пространство по высоте ($h=d$) на длине $l$. Такую систему можно представить как два конденсатора, соединенных параллельно, так как напряжение на них одинаково.

Первый конденсатор ($C_1$) заполнен диэлектриком. Его площадь пластин $S_1 = S \frac{l}{L}$. Его емкость:

$C_1 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S_1}{d} = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S l}{L d}$

Второй конденсатор ($C_2$) заполнен воздухом ($\varepsilon=1$). Его площадь пластин $S_2 = S \frac{L-l}{L}$. Его емкость:

$C_2 = \frac{\varepsilon_0 S_2}{d} = \frac{\varepsilon_0 S (L-l)}{L d}$

При параллельном соединении общая емкость равна сумме емкостей:

$C = C_1 + C_2 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S l}{L d} + \frac{\varepsilon_0 S (L-l)}{L d} = \frac{\varepsilon_0 S}{Ld} (\varepsilon l + L - l) = \frac{\varepsilon_0 S [L + (\varepsilon - 1)l]}{Ld}$

Ответ: $C = \frac{\varepsilon_0 S [L + (\varepsilon - 1)l]}{Ld}$

б)

В этом случае диэлектрик занимает всю площадь пластин ($l=L$), но имеет толщину $h < d$. Такую систему можно представить как два конденсатора, соединенных последовательно, так как через них проходит одинаковый заряд.

Первый конденсатор ($C_1$) заполнен диэлектриком. Его толщина $h$, а площадь пластин $S$. Его емкость:

$C_1 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{h}$

Второй конденсатор ($C_2$) представляет собой воздушный зазор. Его толщина $d-h$, а площадь пластин $S$. Его емкость:

$C_2 = \frac{\varepsilon_0 S}{d-h}$

При последовательном соединении общая емкость находится по формуле:

$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{h}{\varepsilon \varepsilon_0 S} + \frac{d-h}{\varepsilon_0 S} = \frac{h + \varepsilon(d-h)}{\varepsilon \varepsilon_0 S} = \frac{h + \varepsilon d - \varepsilon h}{\varepsilon \varepsilon_0 S} = \frac{\varepsilon d - (\varepsilon-1)h}{\varepsilon \varepsilon_0 S}$

Отсюда, инвертируя дробь, получаем емкость $C$:

$C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{\varepsilon d - (\varepsilon-1)h}$

Ответ: $C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{\varepsilon d - (\varepsilon-1)h}$

в)

Это самый сложный случай, который представляет собой комбинацию последовательного и параллельного соединений. Систему можно разбить на две параллельно соединенные части.

Первая часть (справа) — это воздушный конденсатор ($C_3$) с площадью пластин $S_3 = S \frac{L-l}{L}$ и расстоянием $d$ между ними:

$C_3 = \frac{\varepsilon_0 S_3}{d} = \frac{\varepsilon_0 S(L-l)}{Ld}$

Вторая часть (слева) — это два конденсатора, соединенных последовательно. Их площадь $S' = S \frac{l}{L}$. Один ($C_2$) заполнен диэлектриком и имеет толщину $h$, а другой ($C_1$) представляет собой воздушный зазор толщиной $d-h$.

$C_1 = \frac{\varepsilon_0 S'}{d-h} = \frac{\varepsilon_0 S l}{L(d-h)}$

$C_2 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S'}{h} = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S l}{Lh}$

Их общая емкость $C_{12}$ при последовательном соединении:

$\frac{1}{C_{12}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{L(d-h)}{\varepsilon_0 S l} + \frac{Lh}{\varepsilon \varepsilon_0 S l} = \frac{L}{\varepsilon_0 S l} \left( d-h + \frac{h}{\varepsilon} \right) = \frac{L}{\varepsilon_0 S l} \frac{\varepsilon(d-h)+h}{\varepsilon} = \frac{L[\varepsilon d - (\varepsilon - 1)h]}{\varepsilon \varepsilon_0 S l}$

$C_{12} = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S l}{L[\varepsilon d - (\varepsilon - 1)h]}$

Общая емкость всей системы равна сумме емкостей параллельно соединенных частей $C_3$ и $C_{12}$:

$C = C_3 + C_{12} = \frac{\varepsilon_0 S(L-l)}{Ld} + \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S l}{L[\varepsilon d - (\varepsilon-1)h]}$

Ответ: $C = \frac{\varepsilon_0 S(L-l)}{Ld} + \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S l}{L[\varepsilon d - (\varepsilon-1)h]}$