Номер 25.1, страница 180 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Электрическое поле. 25. Электрическая емкость. Конденсатор. Энергия электрического поля. Упражнения - номер 25.1, страница 180.

Условие.

25.1. Во сколько раз изменится емкость плоского конденсатора, если в него ввести две тонкие металлические пластины (см. рис. а)? Если соединить эти пластины проводом (см. рис. б)?

Рис. а

Рис. б

☑ Не изменится. Увеличится в 1,5 раза.

Решение. Введение тонких незаряженных пластин не изменяет электрического поля внутри конденсатора, а следовательно, и емкости конденсатора. После соединения пластин проводом получается батарея из двух последовательно соединенных конденсаторов, емкость каждого из которых $C_1 = \frac{\epsilon_0 S}{d/3} = 3C_0$, где $C_0$ — первоначальная емкость конденсатора. Емкость батареи $C = C_1 / 2 = 3C_0 / 2$.

Решение.

Дано:

Плоский конденсатор с начальной емкостью $C_0$, площадью обкладок $S$ и расстоянием между ними $d$.

$C_0 = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$

В конденсатор вводятся две тонкие металлические пластины, разделяющие пространство между обкладками на три равных зазора шириной $d/3$.

Найти:

Отношение конечной емкости к начальной для двух случаев:
1. Пластины изолированы друг от друга (рис. а).
2. Пластины соединены проводом (рис. б).

Решение:

Во сколько раз изменится емкость плоского конденсатора, если в него ввести две тонкие металлические пластины (см. рис. а)?

Когда в конденсатор вводят две тонкие, электрически изолированные металлические пластины, система становится эквивалентной трем последовательно соединенным конденсаторам. Каждый из этих конденсаторов ($C_1, C_2, C_3$) имеет ту же площадь пластин $S$, а расстояние между его обкладками, согласно рисунку, равно $d/3$.

Емкость каждого из трех образовавшихся конденсаторов одинакова и равна:

$C_1 = C_2 = C_3 = \frac{\varepsilon_0 S}{d/3} = 3 \frac{\varepsilon_0 S}{d} = 3C_0$

При последовательном соединении конденсаторов обратная величина общей емкости равна сумме обратных величин емкостей каждого конденсатора. Для нашей системы общая емкость $C_a$ будет:

$\frac{1}{C_a} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$

Подставив значения емкостей, получим:

$\frac{1}{C_a} = \frac{1}{3C_0} + \frac{1}{3C_0} + \frac{1}{3C_0} = \frac{3}{3C_0} = \frac{1}{C_0}$

Отсюда следует, что итоговая емкость $C_a = C_0$. Таким образом, емкость конденсатора не изменится.

Ответ: Емкость не изменится.

Во сколько раз изменится емкость, если соединить эти пластины проводом (см. рис. б)?

Если соединить две вставленные пластины проводом, они образуют единую эквипотенциальную поверхность, так как их потенциалы станут равны. В этом случае система будет эквивалентна двум последовательно соединенным конденсаторам. Пространство между соединенными пластинами теперь является частью одного проводника, и электрическое поле в нем равно нулю.

Первый конденсатор ($C'_{1}$) образован левой обкладкой исходного конденсатора и соединенными пластинами. Расстояние между его обкладками равно $d/3$.

Второй конденсатор ($C'_{2}$) образован соединенными пластинами и правой обкладкой исходного конденсатора. Расстояние между его обкладками также равно $d/3$.

Емкость каждого из этих двух конденсаторов будет:

$C'_{1} = C'_{2} = \frac{\varepsilon_0 S}{d/3} = 3 \frac{\varepsilon_0 S}{d} = 3C_0$

Общая емкость системы $C_b$ при последовательном соединении этих двух конденсаторов находится по формуле:

$\frac{1}{C_b} = \frac{1}{C'_{1}} + \frac{1}{C'_{2}}$

Подставим значения:

$\frac{1}{C_b} = \frac{1}{3C_0} + \frac{1}{3C_0} = \frac{2}{3C_0}$

Отсюда находим новую общую емкость:

$C_b = \frac{3C_0}{2} = 1.5 C_0$

Таким образом, емкость конденсатора увеличится в 1,5 раза.

Ответ: Емкость увеличится в 1,5 раза.