Номер 99, страница 177 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Электрическое поле. 24. Потенциал электрического поля. Проводники и диэлектрики в электрическом поле. Олимпиадные задачи - номер 99, страница 177.

Условие.

O-99. Внутри тонкой металлической сферы радиусом $R = 20 \text{ см}$ (см. рисунок) находится металлический шар радиусом $r = R/2$; центры шара и сферы совпадают. Через маленькое отверстие в сфере проходит длинный провод, с помощью которого шар заземлен. На сферу помещают заряд $Q = 20 \text{ нКл}$. Найдите ее потенциал $\varphi$.

☑ $\varphi = 450 \text{ В}.$

Решение. Если бы шар не был заземлен, потенциалы сферы и шара были бы равны $kQ/R$. При заземлении шар получает от Земли такой заряд $\text{q}$, что его потенциал обращается в нуль: $kq/r + kQ/R = 0$, откуда $q = -Qr/R$.

Согласно принципу суперпозиции

$\varphi = k\frac{Q+q}{R} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}\left(1 - \frac{r}{R}\right) = 450 \text{ (В)}.$

Решение.

Дано:

Радиус тонкой металлической сферы: $R = 20 \text{ см}$
Радиус внутреннего металлического шара: $r = R/2$
Заряд, помещенный на сферу: $Q = 20 \text{ нКл}$
Внутренний шар заземлен.

$R = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$
$r = R/2 = 0.1 \text{ м}$
$Q = 20 \text{ нКл} = 20 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
Коэффициент пропорциональности в законе Кулона: $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Найти:

Потенциал сферы $\phi$ - ?

Решение:
Поскольку внутренний металлический шар заземлен, его потенциал равен нулю. Этот потенциал создается двумя зарядами: зарядом $Q$ на внешней сфере и индуцированным на внутреннем шаре зарядом $q$.
Потенциал, создаваемый сферой с зарядом $Q$ и радиусом $R$ в любой точке внутри нее (в том числе на поверхности внутреннего шара), постоянен и равен потенциалу на поверхности сферы:
$\phi_Q = k \frac{Q}{R}$
Потенциал, создаваемый внутренним шаром с зарядом $q$ и радиусом $r$ на его собственной поверхности, равен:
$\phi_q = k \frac{q}{r}$
Согласно принципу суперпозиции, полный потенциал внутреннего шара равен сумме этих потенциалов. По условию заземления, он равен нулю:
$\phi_{шар} = \phi_Q + \phi_q = k \frac{Q}{R} + k \frac{q}{r} = 0$
Из этого уравнения находим индуцированный заряд $q$ на внутреннем шаре:
$k \frac{q}{r} = -k \frac{Q}{R} \implies q = -Q \frac{r}{R}$
Теперь найдем потенциал $\phi$ внешней сферы. Он также складывается из потенциала, создаваемого ее собственным зарядом $Q$, и потенциала, создаваемого зарядом $q$ внутреннего шара.
Потенциал на поверхности внешней сферы от ее собственного заряда $Q$ равен $k \frac{Q}{R}$.
Потенциал на поверхности внешней сферы от заряда $q$ внутреннего шара (рассматриваемого как точечный заряд в центре) равен $k \frac{q}{R}$.
Таким образом, полный потенциал внешней сферы:
$\phi = k \frac{Q}{R} + k \frac{q}{R} = k \frac{Q+q}{R}$
Подставим в это выражение найденное значение $q$:
$\phi = k \frac{Q - Q \frac{r}{R}}{R} = k \frac{Q}{R} \left(1 - \frac{r}{R}\right)$
По условию $r = R/2$, поэтому $\frac{r}{R} = \frac{1}{2}$. Формула принимает вид:
$\phi = k \frac{Q}{R} \left(1 - \frac{1}{2}\right) = k \frac{Q}{2R}$
Произведем вычисления, подставив числовые значения в системе СИ:
$\phi = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot \frac{20 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{2 \cdot 0.2 \text{ м}} = \frac{9 \cdot 20}{0.4} \text{ В} = \frac{180}{0.4} \text{ В} = 450 \text{ В}$

Ответ: $\phi = 450 \text{ В}$.