Номер 24.8, страница 173 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 24. Потенциал электрического поля. Проводники и диэлектрики в электрическом поле. Электрическое поле. Электродинамика - номер 24.8, страница 173.

Условие.

24.8. Заряд Q равномерно распределен по объему непроводящего шара радиусом R. Чему равна напряженность поля E на расстоянии r от центра шара? Постройте график зависимости E(r).

☑ $E = \frac{|Q|r}{4\pi\varepsilon_0 R^3}$ при $r < R$; $E = \frac{|Q|}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ при $r > R$.

График $E(r)$ см. на рисунке.

Воспользуемся аналогией между законом Кулона и законом всемирного тяготения. При сферически симметричном распределении заряда поле на расстоянии r от центра создается только зарядом $q(r)$ внутри сферы радиуса $\text{r}$.

Поскольку заряд распределен по шару равномерно, при $r \le R$ можно записать $\frac{q(r)}{Q} = \frac{r^3}{R^3}$. Тогда $E(r) = k \frac{|q(r)|}{r^2} = k \frac{|Q|r}{R^3} = \frac{|Q|r}{4\pi\varepsilon_0 R^3}$.

При $r < R$ поле, создаваемое заряженным шаром, такое же, как поле точечного заряда $\text{Q}$, расположенного в центре шара, т. е. $E(r) = \frac{|Q|}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$. График зависимости $E(r)$ приведен на рисунке ($E_{max} = \frac{|Q|}{4\pi\varepsilon_0 R^2}$).

Решение.

Дано

Непроводящий шар радиусом $R$.

Общий заряд шара $Q$.

Заряд распределен равномерно по объему, то есть объемная плотность заряда $\rho = \text{const}$.

Найти:

Напряженность электрического поля $E$ как функцию расстояния $r$ от центра шара — $E(r)$.

Построить график зависимости $E(r)$.

Решение

Для нахождения напряженности электрического поля воспользуемся теоремой Гаусса. В силу сферической симметрии распределения заряда, электрическое поле в любой точке на расстоянии $r$ от центра будет направлено радиально и будет одинаково по модулю. Выберем в качестве замкнутой поверхности (поверхности Гаусса) сферу радиусом $r$ с центром, совпадающим с центром заряженного шара.

Теорема Гаусса гласит: $\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q_{вн}}{\varepsilon_0}$, где $q_{вн}$ — заряд, заключенный внутри гауссовой поверхности, а $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная.

Для сферической поверхности поток вектора напряженности равен $E \cdot 4\pi r^2$. Тогда $E \cdot 4\pi r^2 = \frac{q_{вн}}{\varepsilon_0}$, откуда $E(r) = \frac{q_{вн}}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$.

Рассмотрим два случая.

1. Точка находится внутри шара ($r < R$)

В этом случае гауссова поверхность радиусом $r$ находится внутри заряженного шара. Заряд $q_{вн}$ внутри этой поверхности составляет лишь часть от общего заряда $Q$. Поскольку заряд распределен равномерно, объемная плотность заряда $\rho$ постоянна:

$\rho = \frac{Q}{V_{шара}} = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3}$

Тогда заряд, заключенный внутри гауссовой сферы объемом $V_r = \frac{4}{3}\pi r^3$, равен:

$q_{вн} = \rho \cdot V_r = \left( \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \right) \cdot \left( \frac{4}{3}\pi r^3 \right) = Q \frac{r^3}{R^3}$

Теперь подставим $q_{вн}$ в формулу для напряженности поля:

$E(r) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \cdot \left( Q \frac{r^3}{R^3} \right) = \frac{Q r}{4\pi \varepsilon_0 R^3}$

Как видно, внутри шара напряженность поля растет линейно с расстоянием от центра.

2. Точка находится вне шара ($r \ge R$)

В этом случае гауссова поверхность радиусом $r$ охватывает весь заряженный шар. Следовательно, весь заряд шара $Q$ находится внутри этой поверхности: $q_{вн} = Q$.

Подставляем это значение в формулу для напряженности:

$E(r) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}$

Вне шара его поле совпадает с полем точечного заряда $Q$, расположенного в его центре. Напряженность убывает обратно пропорционально квадрату расстояния.

Построение графика E(r)

На границе шара, при $r=R$, значения напряженности, вычисленные по обеим формулам, совпадают и достигают своего максимального значения:

$E_{max} = E(R) = \frac{Q R}{4\pi \varepsilon_0 R^3} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R^2}$

График зависимости $E(r)$ состоит из двух частей:

• При $0 \le r \le R$ напряженность линейно возрастает от $0$ до $E_{max}$. Это отрезок прямой, выходящий из начала координат.

• При $r > R$ напряженность убывает по закону обратных квадратов, асимптотически приближаясь к нулю. Это ветвь гиперболы.

График этой зависимости представлен на изображении.

Ответ:

Напряженность поля $E$ на расстоянии $r$ от центра шара задается соотношениями:

$E = \frac{|Q|r}{4\pi\varepsilon_0 R^3}$ при $r < R$

$E = \frac{|Q|}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ при $r \ge R$

График зависимости $E(r)$ — это линейное возрастание от 0 до $R$, а затем спад по закону $1/r^2$. Максимальное значение напряженности достигается на поверхности шара ($r=R$) и равно $E_{max} = \frac{|Q|}{4\pi\varepsilon_0 R^2}$.