Номер 24.3, страница 171 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 24. Потенциал электрического поля. Проводники и диэлектрики в электрическом поле. Электрическое поле. Электродинамика - номер 24.3, страница 171.

Условие.

24.3. Два электрона находятся на большом расстоянии друг от друга. Вначале один электрон неподвижен, а другой приближается к нему с начальной скоростью $v_0 = 1000$ км/с, направленной вдоль соединяющей электроны прямой. На какое наименьшее расстояние они сблизятся? С какими скоростями разлетятся?

☑ Ha 1 мм; в результате взаимодействия электроны обмениваются скоростями.

Решение. Удобно перейти в систему отсчета центра масс, скорость которой $v = \frac{mv_0}{m+m} = \frac{v_0}{2}$. В этой системе отсчета электроны сближаются со скоростями $\frac{v_0}{2}$. Тогда можно воспользоваться результатом решения задачи 24.2, заменив $v_0$ на $\frac{v_0}{2}$: $r_{\text{min}} = \frac{e^2}{\pi \varepsilon_0 m v_0^2}$. Очевидно, в системе отсчета центра масс после упругого взаимодействия (не сопровождающегося потерями механической энергии) электроны разлетаются с такими же по модулю скоростями $\frac{v_0}{2}$, т. е. обмениваются скоростями.

Решение.

Дано:

Масса электрона: $m_e = 9.11 \times 10^{-31}$ кг

Заряд электрона (по модулю): $e = 1.602 \times 10^{-19}$ Кл

Начальная скорость первого электрона: $v_1 = 0$

Начальная скорость второго электрона: $v_0 = 1000$ км/с

Электрическая постоянная: $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}$ Ф/м

Перевод в систему СИ:

$v_0 = 1000 \text{ км/с} = 1000 \times 10^3 \text{ м/с} = 10^6 \text{ м/с}$

Найти:

1. Наименьшее расстояние сближения $r_{min}$.

2. Скорости электронов $v'_1$ и $v'_2$ после разлета.

Решение:

Рассматриваем систему из двух электронов как замкнутую, так как внешние силы отсутствуют. Для такой системы выполняются законы сохранения импульса и механической энергии.

На какое наименьшее расстояние они сблизятся?

Запишем законы сохранения для двух моментов времени: начального (когда электроны находятся на большом расстоянии друг от друга) и момента максимального сближения.

В начальный момент времени полная энергия системы является кинетической, так как потенциальная энергия взаимодействия на бесконечном расстоянии равна нулю:$E_{нач} = \frac{m_e v_1^2}{2} + \frac{m_e v_0^2}{2} = \frac{m_e v_0^2}{2}$.

Начальный импульс системы: $P_{нач} = m_e v_1 + m_e v_0 = m_e v_0$.

В момент наименьшего сближения на расстояние $r_{min}$ относительная скорость электронов становится равной нулю, то есть они оба движутся с одинаковой скоростью $v$. По закону сохранения импульса:

$P_{нач} = P_{кон} \implies m_e v_0 = m_e v + m_e v = 2m_e v$.

Отсюда находим скорость электронов в момент максимального сближения: $v = \frac{v_0}{2}$.

Полная энергия системы в этот момент складывается из их суммарной кинетической энергии и потенциальной энергии их электростатического отталкивания:

$E_{кон} = \frac{m_e v^2}{2} + \frac{m_e v^2}{2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{e^2}{r_{min}} = m_e v^2 + \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_{min}}$.

Подставляем $v = \frac{v_0}{2}$: $E_{кон} = m_e \left(\frac{v_0}{2}\right)^2 + \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_{min}} = \frac{m_e v_0^2}{4} + \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_{min}}$.

Согласно закону сохранения энергии, $E_{нач} = E_{кон}$:

$\frac{m_e v_0^2}{2} = \frac{m_e v_0^2}{4} + \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_{min}}$.

$\frac{m_e v_0^2}{4} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_{min}}$.

Выражаем $r_{min}$:$r_{min} = \frac{4e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e v_0^2} = \frac{e^2}{\pi\varepsilon_0 m_e v_0^2}$.

Подставим числовые значения:

$r_{min} = \frac{(1.602 \times 10^{-19})^2}{3.14159 \times (8.854 \times 10^{-12}) \times (9.11 \times 10^{-31}) \times (10^6)^2} \approx 1.013 \times 10^{-9}$ м.

Ответ: Наименьшее расстояние, на которое сблизятся электроны, составляет $1.013 \times 10^{-9}$ м (или 1.013 нм). Отмеченный в задачнике ответ "1 мм" был бы верным, если бы начальная скорость составляла 1000 м/с, а не 1000 км/с.

С какими скоростями разлетятся?

Взаимодействие электронов является упругим столкновением. Для одномерного упругого столкновения двух частиц одинаковой массы характерен обмен скоростями.

Начальные скорости электронов: $v_1 = 0$ и $v_2 = v_0 = 1000$ км/с.

После взаимодействия, когда они снова окажутся на большом расстоянии друг от друга, их скорости будут:

$v'_1 = v_0 = 1000$ км/с

$v'_2 = 0$

То есть, первый электрон, который был неподвижен, приобретет скорость 1000 км/с, а второй, который двигался, остановится. Проверим это с помощью законов сохранения.

Закон сохранения импульса: $m_e v_0 = m_e v'_1 + m_e v'_2 \implies v_0 = v'_1 + v'_2$.

Закон сохранения энергии: $\frac{1}{2} m_e v_0^2 = \frac{1}{2} m_e (v'_1)^2 + \frac{1}{2} m_e (v'_2)^2 \implies v_0^2 = (v'_1)^2 + (v'_2)^2$.

Решая систему этих двух уравнений, получаем два возможных решения:1) $v'_1=0, v'_2=v_0$ (соответствует начальному состоянию, т.е. отсутствию столкновения).2) $v'_1=v_0, v'_2=0$ (соответствует состоянию после столкновения).

Ответ: После взаимодействия электрон, который изначально покоился, будет двигаться со скоростью 1000 км/с, а электрон, который изначально двигался, остановится.