Номер 94, страница 168 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 23. Электрический заряд. Закон Кулона. Напряженность электрического поля. Электрическое поле. Электродинамика - номер 94, страница 168.

Условие.

О-94. Подсчитать модуль средней плотности $\rho$ электрических зарядов в атмосфере, если известно, что напряженность электрического поля на поверхности Земли равна 100 В/м, а на высоте $h = 1,5$ км эта напряженность падает до 25 В/м.

Решение. Как известно, напряженность электрического поля внутри заряженного тонкого сферического слоя равна нулю, а вне этого слоя напряженность такая, какой она была бы, если бы весь заряд слоя был сосредоточен в его центре. Разобьем Землю и атмосферу Земли на тонкие сферические слои. Тогда ясно, что на поверхности Земли напряженность электрического поля равна $E_0 = k \frac{Q}{R^2}$, где $\text{Q}$ — суммарный заряд Земли, $\text{R}$ — радиус Земли.

На высоте $\text{h}$ напряженность электрического поля складывается из напряженности поля, созданного зарядом $\text{Q}$ Земли, и из напряженности поля, созданного зарядом $\text{q}$ слоев атмосферы с радиусами, меньшими $R + h$, то есть $E = k \frac{Q+q}{(R+h)^2}$. Так как $q = \rho V = \frac{4}{3}\pi[(R+h)^3 - R^3]\cdot \rho = 4\pi R^2 h \rho$, то $|E_0 - E| = k \cdot 4\pi |\rho| h = \frac{|\rho|h}{\epsilon_0}$.

Мы учли, что радиус Земли $\text{R}$ много больше высоты $\text{h}$. Отсюда $|\rho| = \frac{\epsilon_0 |E - E_0|}{h} = 4,4 \cdot 10^{3} \frac{\text{Кл}}{\text{м}^3}$.

Решение.

Дано

Напряженность электрического поля на поверхности Земли $E_0 = 100 \text{ В/м}$

Напряженность электрического поля на высоте $h = 1.5 \text{ км}$ равна $E = 25 \text{ В/м}$

Электрическая постоянная $\varepsilon_0 \approx 8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}$

Перевод в систему СИ:

$h = 1.5 \text{ км} = 1500 \text{ м}$

Найти:

Модуль средней плотности электрических зарядов в атмосфере $|\rho|$

Решение

Будем рассматривать Землю как проводящую сферу радиусом $R$ с некоторым зарядом $Q$. Атмосферу до высоты $h$ будем считать сферическим слоем с равномерно распределенным по объему зарядом со средней плотностью $\rho$.

Согласно теореме Гаусса для сферически-симметричного распределения заряда, напряженность электрического поля на поверхности Земли (на расстоянии $R$ от центра) создается только зарядом самой Земли $Q$.

$E_0 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{R^2}$

На высоте $h$ от поверхности (на расстоянии $R+h$ от центра), напряженность поля $E$ создается как зарядом Земли $Q$, так и зарядом $q$, находящимся в атмосферном слое толщиной $h$.

$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q+q}{(R+h)^2}$

Заряд $q$ в атмосферном слое равен произведению объемной плотности $\rho$ на объем этого слоя $V$.

$q = \rho \cdot V$

Объем сферического слоя равен разности объемов двух сфер:

$V = \frac{4}{3}\pi (R+h)^3 - \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi ((R+h)^3 - R^3)$

Так как высота $h$ много меньше радиуса Земли ($h \ll R$), то можно использовать приближенные вычисления. Радиус Земли $R \approx 6400 \text{ км}$, а $h=1.5 \text{ км}$.

При $h \ll R$ объем слоя можно аппроксимировать как произведение площади поверхности Земли $S = 4\pi R^2$ на толщину слоя $h$:

$V \approx 4\pi R^2 h$

Тогда заряд в слое атмосферы:

$q \approx \rho \cdot 4\pi R^2 h$

Также при $h \ll R$ можно считать, что $(R+h)^2 \approx R^2$. Подставим эти приближения в формулу для напряженности $E$:

$E \approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q + \rho \cdot 4\pi R^2 h}{R^2}$

Разделим это выражение на два слагаемых:

$E \approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{R^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\rho \cdot 4\pi R^2 h}{R^2}$

Первое слагаемое равно напряженности на поверхности Земли $E_0$. Второе слагаемое упрощается:

$E \approx E_0 + \frac{\rho h}{\varepsilon_0}$

Отсюда можно выразить плотность заряда $\rho$:

$E - E_0 = \frac{\rho h}{\varepsilon_0}$

$\rho = \frac{\varepsilon_0 (E - E_0)}{h}$

Задача просит найти модуль средней плотности, поэтому:

$|\rho| = \frac{\varepsilon_0 |E - E_0|}{h}$

Подставим числовые значения:

$|\rho| = \frac{8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м} \cdot |25 \text{ В/м} - 100 \text{ В/м}|}{1500 \text{ м}} = \frac{8.85 \cdot 10^{-12} \cdot 75}{1500} \text{ Кл/м³}$

$|\rho| = \frac{663.75 \cdot 10^{-12}}{1500} \text{ Кл/м³} = 0.4425 \cdot 10^{-12} \text{ Кл/м³} \approx 4.4 \cdot 10^{-13} \text{ Кл/м³}$

Ответ: Модуль средней плотности электрических зарядов в атмосфере составляет примерно $4.4 \cdot 10^{-13} \text{ Кл/м³}$.