Номер 23.8, страница 166 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 23. Электрический заряд. Закон Кулона. Напряженность электрического поля. Электрическое поле. Электродинамика - номер 23.8, страница 166.

Условие.

23.8. Два одинаковых одноименно заряженных шарика, подвешенных в одной точке на нитях равной длины, опускают в керосин. При этом угол расхождения нитей не изменяется. Какова плотность $\rho$ материала шариков?

☑ 1500 \text{ кг/м}^3$.

Решение. На рисунке показаны силы, действующие в керосине на один из шариков.

Из условия равновесия следует, что $F_K = (mg - F_A)\text{tg}\frac{\alpha}{2}$, где $F_K$ — кулоновская сила, $F_A$ — сила Архимеда. Заметим, что хотя заряды шариков могут быть различны, на каждый из шариков согласно третьему закону Ньютона действуют одинаковые по модулю кулоновские силы, вследствие чего шарики отклонены на одинаковые углы.

В воздухе сила Архимеда практически отсутствует, так что $F_0 = mg \text{tg}(\alpha/2)$, где $F_{\text{0К}}$ — кулоновская сила в воздухе.

Поскольку $F_K = F_{\text{0К}}/\varepsilon$, где $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость керосина, получаем $mg - F_A = mg/\varepsilon$.

Подставив в эту формулу $m = \rho V$, $F_A = \rho_{\text{к}} g V$, находим $\rho = \frac{\varepsilon\rho_{\text{к}}}{\varepsilon - 1} = 1500 \text{ (кг/м}^3\text{)}$ (здесь $\rho_{\text{к}}$ — плотность керосина).

Решение.

Дано:

$\alpha_{воздух} = \alpha_{керосин} = \alpha$ — угол расхождения нитей
$\rho_k$ — плотность керосина (справочная величина)
$\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость керосина (справочная величина)

Найти:

$\rho$ — плотность материала шариков.

Решение:

Рассмотрим равновесие одного из шариков в двух случаях: в воздухе и в керосине. Так как шарики одинаковы и заряжены одноименно, они отталкиваются и расходятся на одинаковый угол $\alpha/2$ от вертикали.

1. Равновесие в воздухе.
На шарик действуют три силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, сила натяжения нити $T_0$, направленная вдоль нити, и сила кулоновского отталкивания $F_0$, направленная горизонтально. Силой Архимеда в воздухе пренебрегаем. Запишем условия равновесия в проекциях на горизонтальную (X) и вертикальную (Y) оси:
X: $T_0 \sin(\alpha/2) = F_0$
Y: $T_0 \cos(\alpha/2) = mg$
Разделив первое уравнение на второе, получим:
$\text{tg}(\alpha/2) = \frac{F_0}{mg}$ (1)

2. Равновесие в керосине.
При погружении в керосин на шарик дополнительно действует выталкивающая сила Архимеда $F_A$, направленная вертикально вверх. Кулоновская сила взаимодействия в диэлектрической среде ослабевает и становится равной $F_k$. Условия равновесия в проекциях на оси:
X: $T_k \sin(\alpha/2) = F_k$
Y: $T_k \cos(\alpha/2) + F_A = mg \implies T_k \cos(\alpha/2) = mg - F_A$
Разделив первое уравнение на второе, получим:
$\text{tg}(\alpha/2) = \frac{F_k}{mg - F_A}$ (2)

3. Вывод итоговой формулы.
Поскольку по условию угол расхождения $\alpha$ не изменился, левые части уравнений (1) и (2) равны. Следовательно, мы можем приравнять их правые части:
$\frac{F_0}{mg} = \frac{F_k}{mg - F_A}$
Сила Кулона в среде с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ ослабляется в $\varepsilon$ раз по сравнению с вакуумом (воздухом): $F_k = F_0/\varepsilon$.
Выразим массу шарика $m$ и силу Архимеда $F_A$ через объем шарика $V$ и плотности: $m = \rho V$, где $\rho$ — искомая плотность материала шарика.
$F_A = \rho_k g V$, где $\rho_k$ — плотность керосина.
Подставим эти соотношения в наше уравнение:
$\frac{F_0}{\rho V g} = \frac{F_0 / \varepsilon}{\rho V g - \rho_k g V}$
Сократим в уравнении $F_0$ (так как $F_0 \neq 0$) и $Vg$ (так как $V \neq 0, g \neq 0$):
$\frac{1}{\rho} = \frac{1/\varepsilon}{\rho - \rho_k}$
Используя свойство пропорции, получим:
$\rho - \rho_k = \frac{\rho}{\varepsilon}$
Перегруппируем слагаемые, чтобы выразить $\rho$:
$\rho - \frac{\rho}{\varepsilon} = \rho_k$
$\rho \left(1 - \frac{1}{\varepsilon}\right) = \rho_k$
$\rho \left(\frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon}\right) = \rho_k$
Отсюда искомая плотность равна:
$\rho = \frac{\varepsilon \rho_k}{\varepsilon - 1}$

Полученная формула позволяет найти плотность материала шариков, зная свойства жидкости. Подставляя справочные значения для керосина (плотность $\rho_k \approx 800 \text{ кг/м}^3$, диэлектрическая проницаемость $\varepsilon \approx 2.1$), получаем $\rho \approx 1527 \text{ кг/м}^3$. Ответ, указанный в задаче, мог быть получен при немного других, но также реалистичных справочных данных, что подтверждает правильность выведенной формулы.

Ответ: $1500 \text{ кг/м}^3$.