Номер 23.3, страница 165 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 23. Электрический заряд. Закон Кулона. Напряженность электрического поля. Электрическое поле. Электродинамика - номер 23.3, страница 165.

Условие.

23.3. Три одинаковых одноименных заряда $\text{q}$ расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд $\text{Q}$ нужно поместить в центр треугольника, чтобы система зарядов находилась в равновесии?

☑ $Q = -q/\sqrt{3}$

Решение. Очевидно, заряды $\text{q}$ и $\text{Q}$ должны быть разноименными. Условие равновесия всей системы сводится к условию равновесия любого из зарядов $\text{q}$ и имеет вид $\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = 0$ (см. рисунок).

Согласно закону Кулона $F_1 = F_2 = kq^2/a^2$, $F_3 = 3k|q||Q|/a^2$.

Проецируя условие равновесия на вертикальную ось, находим $|Q| = |q|/\sqrt{3}$, т. е. $Q = -q/\sqrt{3}$.

Решение.

Дано:

Заряды в вершинах: $q_1 = q_2 = q_3 = q$

Расположение: вершины равностороннего треугольника со стороной $a$.

Центральный заряд: $Q$

Состояние системы: равновесие.

Найти:

$Q$

Решение:

Для того чтобы система зарядов находилась в равновесии, необходимо, чтобы векторная сумма всех сил, действующих на каждый из зарядов, была равна нулю. В силу симметрии задачи, достаточно рассмотреть условие равновесия для одного из зарядов в вершине треугольника, например, для верхнего заряда $q$.

На этот заряд действуют три силы:

1. Сила отталкивания $\vec{F}_1$ со стороны левого нижнего заряда $q$.

2. Сила отталкивания $\vec{F}_2$ со стороны правого нижнего заряда $q$.

3. Сила $\vec{F}_3$ со стороны центрального заряда $Q$.

Условие равновесия для верхнего заряда: $\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = \vec{0}$.

Силы $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$ являются силами отталкивания, так как заряды в вершинах одноименные. Их равнодействующая $\vec{F}_{12} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ направлена вертикально вверх (вдоль высоты треугольника, опущенной из данной вершины). Чтобы скомпенсировать эту силу, сила $\vec{F}_3$ со стороны заряда $Q$ должна быть направлена в противоположную сторону, то есть вертикально вниз, к центру треугольника. Это означает, что сила $\vec{F}_3$ должна быть силой притяжения, следовательно, заряды $q$ и $Q$ должны быть разноименными.

Найдем величины этих сил. По закону Кулона, модули сил $F_1$ и $F_2$ равны:

$F_1 = F_2 = k \frac{q \cdot q}{a^2} = k \frac{q^2}{a^2}$

где $a$ – сторона треугольника.

Угол между векторами $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$ равен $60^\circ$, так как треугольник равносторонний. Найдем модуль их равнодействующей $F_{12}$. Удобнее всего это сделать, спроецировав силы на вертикальную ось, совпадающую с высотой треугольника. Угол между каждой из сил и этой осью равен $30^\circ$.

$F_{12} = F_1 \cos(30^\circ) + F_2 \cos(30^\circ) = 2 F_1 \cos(30^\circ) = 2 \left( k \frac{q^2}{a^2} \right) \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} k \frac{q^2}{a^2}$

Теперь найдем модуль силы $F_3$. Для этого нужно определить расстояние $r$ от центра равностороннего треугольника до его вершины. Это расстояние равно $2/3$ высоты $h$ треугольника.

$h = a \sin(60^\circ) = a \frac{\sqrt{3}}{2}$

$r = \frac{2}{3} h = \frac{2}{3} \cdot a \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Тогда модуль силы $F_3$ равен:

$F_3 = k \frac{|qQ|}{r^2} = k \frac{|qQ|}{(a/\sqrt{3})^2} = k \frac{|qQ|}{a^2/3} = 3k \frac{|qQ|}{a^2}$

Из условия равновесия следует, что модули сил $F_{12}$ и $F_3$ должны быть равны:

$F_{12} = F_3$

$\sqrt{3} k \frac{q^2}{a^2} = 3k \frac{|qQ|}{a^2}$

Сократим одинаковые множители:

$\sqrt{3} q = 3 |Q|$

$|Q| = \frac{\sqrt{3}}{3} q = \frac{q}{\sqrt{3}}$

Так как мы установили, что заряды $q$ и $Q$ должны быть разноименными, то:

$Q = - \frac{q}{\sqrt{3}}$

При таком значении $Q$ равновесие будет соблюдаться для всех трех зарядов в вершинах. Заряд $Q$ в центре также будет находиться в равновесии, так как силы, действующие на него со стороны трех одинаковых зарядов $q$, симметрично расположенных вокруг него, скомпенсируют друг друга.

Ответ: $Q = -q/\sqrt{3}$.