Номер 23.9, страница 167 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Электродинамика. Электрическое поле. 23. Электрический заряд. Закон Кулона. Напряженность электрического поля. Упражнения - номер 23.9, страница 167.

Условие.

23.9. На нитях равной длины, закрепленных в одной точке, висят два одинаковых маленьких металлических шарика. Шарикам сообщили равные заряды, в результате чего они разошлись на расстояние $a = 9,5 \text{ см}$, которое намного меньше длины нитей. Затем один из шариков разрядили. Что произойдет с шариками после этого? При каком расстоянии $\text{b}$ между шариками снова установится равновесие?

☑ $b = 6 \text{ см}$.

Решение. После разрядки одного из шариков отталкивание сменится притяжением, шарики соприкоснутся, при этом заряд $\text{q}$ одного из них разделится между шариками поровну. В результате опять возникнет отталкивание, но слабее первоначального. Найдем характер зависимости расстояния между шариками от заряда шариков. Из соотношения $F_к = k\frac{q^2}{a^2} = mg \operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}$ (см. задачу 23.8) с учетом соотношения $a = 2l \sin\frac{\alpha}{2}$ и того, что $\alpha \ll 1$, получаем

$a = \left(\frac{2klq^2}{mg}\right)^{1/3}$. Заменяя $\text{q}$ на $q/2$, находим $b = \frac{a}{4^{1/3}} = 6 \text{ (см)}$.

Решение.

Дано

Два одинаковых шарика массой $m$ и зарядом $q$.
Длина нитей: $l$.
Начальное расстояние равновесия: $a = 9,5$ см.
Условие малых углов: $a \ll l$.
После разрядки одного шарика и их соприкосновения новые заряды равны $q' = q/2$.

Перевод в систему СИ:
$a = 9,5 \text{ см} = 0,095 \text{ м}$.

Найти:

Новое расстояние равновесия $b$.

Решение

Рассмотрим состояние равновесия для одного из шариков в начальный момент. На него действуют три силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, сила натяжения нити $T$, направленная вдоль нити, и сила Кулона $F_e$, направленная горизонтально.

Пусть нить отклонена от вертикали на малый угол $\alpha$. Условие равновесия в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:

$T \sin \alpha = F_e$ (1)
$T \cos \alpha = mg$ (2)

Разделим уравнение (1) на (2):

$\frac{T \sin \alpha}{T \cos \alpha} = \frac{F_e}{mg} \Rightarrow \text{tg} \alpha = \frac{F_e}{mg}$

Сила Кулоновского отталкивания между шариками с одинаковыми зарядами $q$ на расстоянии $a$:

$F_e = k \frac{q^2}{a^2}$

где $k$ – коэффициент пропорциональности в законе Кулона.

Из геометрии системы, для малого угла $\alpha$ (так как $a \ll l$), можно записать:

$\text{tg} \alpha \approx \sin \alpha = \frac{a/2}{l} = \frac{a}{2l}$

Подставим выражения для $\text{tg} \alpha$ и $F_e$ в условие равновесия:

$\frac{a}{2l} = \frac{k q^2 / a^2}{mg} = \frac{k q^2}{mg a^2}$

Выразим отсюда $a^3$:

$a^3 = \frac{2klq^2}{mg}$ (3)

Теперь рассмотрим, что произойдет после разрядки одного из шариков. Его заряд станет равен нулю. Между заряженным шариком (с зарядом $q$) и нейтральным возникнет сила притяжения за счет электростатической индукции. Шарики притянутся, соприкоснутся. Поскольку шарики одинаковые и металлические, общий заряд $q+0=q$ распределится между ними поровну. Новый заряд каждого шарика станет:

$q' = \frac{q}{2}$

После этого шарики, имея одноименные заряды $q'$, снова оттолкнутся и установятся в новом положении равновесия на расстоянии $b$. Запишем для нового состояния равновесия аналогичное уравнение, заменив $a$ на $b$ и $q$ на $q'$:

$b^3 = \frac{2kl(q')^2}{mg}$

Подставим значение $q' = q/2$:

$b^3 = \frac{2kl(q/2)^2}{mg} = \frac{2klq^2}{4mg} = \frac{1}{4} \left( \frac{2klq^2}{mg} \right)$

Заметим, что выражение в скобках равно $a^3$ из уравнения (3). Таким образом:

$b^3 = \frac{a^3}{4}$

Отсюда находим новое расстояние $b$:

$b = \sqrt[3]{\frac{a^3}{4}} = \frac{a}{\sqrt[3]{4}}$

Подставим числовое значение $a = 9,5$ см:

$b = \frac{9,5 \text{ см}}{\sqrt[3]{4}} \approx \frac{9,5 \text{ см}}{1,5874} \approx 5,984 \text{ см}$

Округляя результат, получаем $b \approx 6$ см.

Ответ: После разрядки одного из шариков они притянутся, соприкоснутся, и заряд перераспределится поровну. Затем они оттолкнутся и установятся в новом положении равновесия на расстоянии $b = \frac{a}{\sqrt[3]{4}} \approx 6 \text{ см}$.