Номер 24.4, страница 171 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 24. Потенциал электрического поля. Проводники и диэлектрики в электрическом поле. Электрическое поле. Электродинамика - номер 24.4, страница 171.

Условие.

24.4. Можно ли создать электростатическое поле, линии напряженности которого имеют вид, показанный на рисунке?

☑ Нельзя.

Решение. Электростатическое поле является потенциальным, т. е. работа сил поля по перемещению заряда вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Поле же, силовые линии которого приведены в условии, потенциальным не является. Например, при перемещении заряда по замкнутой траектории $ABCDA$ (см. рисунок) такое поле совершило бы отличную от нуля работу: на участках $BC$ и $DA$ работа равна нулю, а на участках $AB$ и $CD$ работа поля имеет разные знаки и модули, поскольку напряженность поля на участке $CD$ больше.

Решение.

Решение

Нет, создать электростатическое поле с линиями напряженности, показанными на рисунке, невозможно.

Основным свойством электростатического поля (поля, созданного неподвижными электрическими зарядами) является его потенциальность. Это означает, что работа, совершаемая силами поля при перемещении пробного заряда по любому замкнутому контуру, всегда равна нулю. Это свойство математически выражается через циркуляцию вектора напряженности $\vec{E}$ по замкнутому контуру $L$:

$A = \oint_L \vec{F} \cdot d\vec{l} = q \oint_L \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$

где $A$ - работа поля, $q$ - величина пробного заряда, $\vec{F}$ - сила, действующая на заряд со стороны поля, $d\vec{l}$ - вектор элементарного перемещения.

Проверим, выполняется ли это условие для поля, изображенного на рисунке. На рисунке мы видим, что линии напряженности параллельны, но их густота неоднородна: в нижней части рисунка линии расположены гуще, чем в верхней. Густота силовых линий пропорциональна модулю вектора напряженности электрического поля. Следовательно, напряженность поля в нижней части больше, чем в верхней.

Рассмотрим работу поля при перемещении пробного положительного заряда $q$ по замкнутому прямоугольному контуру $ABCDA$. Полная работа $A_{ABCDA}$ будет складываться из работ на отдельных участках:

$A_{ABCDA} = A_{AB} + A_{BC} + A_{CD} + A_{DA}$

• На участках $BC$ и $DA$ перемещение заряда происходит перпендикулярно линиям напряженности поля. В этом случае работа сил поля равна нулю, так как скалярное произведение $\vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$. Таким образом, $A_{BC} = 0$ и $A_{DA} = 0$.

• На участке $AB$ длиной $l$ заряд движется по направлению поля. Работа поля здесь положительна и равна $A_{AB} = q E_{AB} l$, где $E_{AB}$ — напряженность поля на высоте участка $AB$.

• На участке $CD$ длиной $l$ заряд движется против направления поля. Работа поля здесь отрицательна и равна $A_{CD} = -q E_{CD} l$, где $E_{CD}$ — напряженность поля на высоте участка $CD$.

Суммарная работа по всему замкнутому контуру равна:

$A_{ABCDA} = A_{AB} + A_{BC} + A_{CD} + A_{DA} = q E_{AB} l + 0 - q E_{CD} l + 0 = ql(E_{AB} - E_{CD})$

Из рисунка видно, что густота линий на участке $CD$ больше, чем на участке $AB$, следовательно, модуль напряженности поля $E_{CD} > E_{AB}$.

Это означает, что разность $(E_{AB} - E_{CD})$ не равна нулю (она отрицательна). Таким образом, и полная работа по замкнутому контуру не равна нулю:

$A_{ABCDA} \neq 0$

Поскольку работа сил поля по замкнутому контуру отлична от нуля, данное поле не является потенциальным. Следовательно, оно не может быть электростатическим. Такое поле называется вихревым и может быть создано, например, изменяющимся во времени магнитным полем (явление электромагнитной индукции).

Ответ: Нельзя. Электростатическое поле является потенциальным, что означает равенство нулю работы сил поля при перемещении заряда по любому замкнутому контуру. Для поля, показанного на рисунке, работа по замкнутому контуру $ABCDA$ не равна нулю, так как напряженность на участке $AB$ не равна напряженности на участке $CD$.